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con S„(x) = v 0 (x)- J rV i (x)-i- ... ~\-v n (x), è convergente se p> 1, è diver- 

 gente se p> 1 ('). Se dunque y(x) è una funzione che per x razionale è 

 uguale a zero, e per x irrazionale è uguale ad uno, ponendo: 



V v n (or) 

 V(x) 



zs(x) = 



v n (x) 



rs n {xy^) 



la funzione zs{%) non differirà dalla y(x). Evidentemente anche con altri 

 processi si potrebbero ottenere i medesimi risultati. 



« I risultati ottenuti relativi alla espressione analitica di certe fun- 

 zioni singolari di una variabile, possono anche essere estesi alle fuuzioni di 

 due o più variabili. Sieno infatti yj(x) , yi(y) due funzioni determinate col 

 metodo accennato, che lascia tanta arbitrarietà alla loro espressione anali- 

 tica, uguali a zero quando or e y sono commensurabili, uguali ad uno quando 

 x , y sono incommensurabili e pongasi : 



(2) F (x, y) = A + Byj (x) + C/ 2 (x) + D X i (oc) # (y) . 



« Se q>\(x , y) , <p 2 (& , y) , , y) , y\{x , y) sono funzioni analitiche note 

 di x , y , prendendo : 



k=cpi(x, y), AH-B— <p % (x, y), A+G=^(x, y), A+B4- C+D ~— © 4 (a?, y) 

 ovvero : 



A = ®i (x) , B = (pi(x,y)—(p i (x,y), G — (p z (x, y) — o y (x, y) , 

 D — ^ (x, y) 4- ?1 (sfc, y) — n (x, y) — o 3 (x, y) , 

 la funzione ¥(x ,y) assumerà i valori di rp i (x , y) per a;,?/ razionali, i va- 

 lori di (pi (x , y) per a? irrazionale e y razionale, i valori di © 3 (j? , ?/) per x 

 razionale e y irrazionale, e, finalmente, i valori di <p t (x , y) per x e y irra- 

 zionali. Può solo restar dubbio pei punti nei quali tp^x , y) , <Pi(x , , 

 <p 3 (a; , ?/) , 35 4 (.r , y) cessino di essere finite. 

 « Ciò premesso, se : 



(3) A (oc, y) = l, A (oo, y) = l, ... , U (or, y) = 1 



sono le equazioni di m curve chiuse che limitano altrettanti campi sepa- 

 rati, pei punti interni dei quali si ha: 



A 2 (*,2/)<1, tf(oc,y)< 1,..., f„?(x,y)<l 

 e pei punti esterni: 



A 2 (oo, y)>l, A 2 (oc, y) > 1 , ... , fj (x, y) > 1 , 

 sarà possibile, combinando la funzione precedentemente trovata con espres- 

 sioni analitiche dedotte dalla formula di Fonder, determinare una funzione 



(') Conf. Dini: Sulle serie a termini positivi. Pisa-Nistri, 1867. Serie poi come 2v n (x) 



o 



se ne possono avere in numero infinito. Infatti, se ipjx) è sempre finita e superiore a zero 

 più di una quantità A, e decrescente con n, se è sempre finita e crescente con n, 



la serie - — ^ , sarà sempre divergente a termini decrescenti, 

 o n4-i//„(i] 1 & 



