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- che presenti singolarità in questi campi analoghe a quella che E(a? , y) pre- 

 senta in tutto il piano, e sia poi zero per tutti i punti situati esternamente 

 a quei campi. 



« Infatti colla formula di Fourier si possono determinare dei fattori 

 Pi , pi , . . , p n che sono zero in tutti i punti esterni ai campi (3) e sono 

 uguali ad uno in tutti i punti interni. Allora se : 



f i ( ] {oc, y) , n (s] fa y) > y) > <Pì (s) fa y) 



sono quattro funzioni analitiche note di x ,y , per le quali però si assu- 

 mono valori finiti in quei punti situati fuori del campo limitato dalla curva: 



f, {oc, y) = 1 



nei quali esse divenissero infinite dopo aver posto : 

 (4) A (s) fa y) =p s ftp) {x, y) , /V s) fa y)=P s <?P fa y) , 

 - W {oc, y) - p s © 3 rs) fa y), U s ) {x, y) — p s <p 4 (s) {x, y) , 

 queste funzioni soddisfanno alla condizione di essere uguali a zero in tutto 

 il piano, esclusi i punti del campo limitato dalla curva: 



f, fa y) = 1 



nei quali esse coincidono con: 



(p^{x,tj), ®é s) fal/), ? 3 (s) {oc, y) , <?i (s) fa y) . 



« Servendoci allora delle (4) per determinare i coefficienti A, B, C, D, 

 della (2) otterremo una funzione F s (a?, y) che soddisfa alle condizioni di esser 

 zero per tutti i valori di x , y corrispondenti a punti esterni allY" 0 dei 

 campi limitati dalle (3), e per i punti interni secondo che x , y sono ra- 

 zionali o irrazionali ha valori uguali a quelli di una delle funzioni: 

 9i< s > {x, y) , o; 2 < s > {x, y) , <p 3 W (x, y) , p 4 W {x, y) . 



« Eipetendo il medesimo processo per i rimanenti campi limitati dalle 

 (3) e chiamando F^x , y) , F t {x,y) ,.. . , F„,(.« , y) le funzioni analoghe per 

 essi determinate, dopo aver posto: 



ni 



f{x,y) = 2F s {x,y) 

 ì 



avremo l'espressione analitica di una funzione di due variabili che ha sin- 

 golarità come quelle già notate per le funzioni di una sola variabile. Sul 

 contorno dei campi limitati dalle (3) le singolarità differiranno un poco da 

 quelle che si presentano nell'interno. 



« Pel caso di una funzione di n variabili x-i , x% ; ■'. . , x n si può pure 

 giungere a risultati analoghi. Per questo basterà osservare che se yj{x) , 

 Xì(oc) , . . , yin{%,) sono le solite funzioni uguali a zero per i valori razio- 

 nali delle variabili X\ , x% , . . , x n e uguali ad uno pei valori irrazionali, 

 ponendo : 



n 



F n (x h x ì ....,x H )=k^lB s % s {x s )+lC. i Xrfa)z s {cc s ) + ■• + tyMx.t( a *)"fr(*») 



1 )'S 



per determinare i coefficienti A , B , C , . . , onde F n {x x , x% , . . , x n ) presenti 

 le solite singolarità, si hanno 2' equazioni lineari, appunto quanti sono i 

 coefficienti stessi. 



