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problema degli angoli che formano fra loro gli spazi lineari, estendendo i 

 processi e le formule conosciute per gli spazi di due e di tre dimensioni. 

 Oggi che per l'opera del prof. Veronese, codeste dottrine vestirono forma 

 strettamente geometrica, le formule del sig. Jordan acquistano, nel campo 

 delle rappresentazioni possibili, quella stessa ragione di essere onde sono 

 dotate quelle del piano, e dello spazio a tre dimensioni. Tuttavia il problema 

 può ricevere una soluzione puramente geometrica in più d'un modo, e quello 

 che informa la soluzione qui esposta tiene le sue basi nella teoria dell'or- 

 togonalità, quale fu stabilita dallo stesso Veronese nella sua Memoria ('), 

 ed è qui brevemente riportata. 



«Come nella geometria dello spazio E 3 , due rette, oppure una retta 

 ed un piano, oppure due piani, fra loro ortogonali, hanno i loro elementi 

 all' infinito in relazione di polarità o di coniugamento armonico col cir- 

 colo immaginario S/ 1 ^ 1 , cosi due spazi E,, E fy posti nell'ambiente E,^^, 



(P~^~Q^ a ) saranno ortogonali se ì loro elementi all'infinito E^ , E 3 _j , 



sono coniugati armonici colla sfera immaginaria (o quadrica) S M _,._ 2 . 



« Stabilito questo principio, la teoria degli angoli può farsi dipendere 

 dalla soluzione d'un problema che, a primo aspetto, non parrebbe avere 

 alcuna relazione con quello degli angoli, ed è il seguente che giova sepa- 

 rare in due parti. 



« I. Quante rette possono attraversare i quattro spazi omonimi E,/V , 

 E/ 2 ^, E,/ ; V, E/V, situati comunque in uno spazio fondamentale E 2)l1 -i? 



■ •" ' ■ '. éì/ì-' 



« II. Quante rette possono attraversare gli spazi E„< % B„W, Ep-,;-! , 



CV. 



Rp-K-i P os ti nello spazio fondamentale E, ? 



« Per rispondere alla prima parte del quesito si considerino due soli 

 di quei primi quattro spazi, per esempio E/V, B,/ 2 ^ e per un punto E„ 

 si cerchi di condurre una retta che li attraversi. Ciò è subito fatto poiché 



(V (V 

 E 0 ed E./V compongono uno spazio E,,^ che con lo spazio B,^ compo- 

 sto da E 0 e da E/ 2 ^, si sega nello spazio E 2ji ^ 2 -2«-i =Ei cioè in una retta 

 unica passante per E 0 , ed è la cercata. Ora se si considera una terna qua- 

 lunque delle quattro cui danno origine quegli spazi proposti, essa sarà attra- 

 versata da una serie di rette n volte infinita componente un luogo continuo 

 d'ordine n-f-1 e che ha w 4- 1 dimensioni, come ora si vedrà. Si prendano 

 a considerare simultaneamente due terne, per esempio, E/V E,/ 2 /* E/ 3 ^ ed 

 ~RJV B/ 3 ^ B,/ 4 ^; si prenda in E,/V un punto A t e per esso si conduca la 

 retta che incontra E,/ 2 / E,/ 3 / 1 ; sieno A 2 ed A^ i punti d'incontro. Ora per 

 il punto A 3 si conduca la retta che attraversa E/ 1 ^ ed E./ 4 ^ e sieno A t 2 

 ed A 4 i due punti d'incontro. Così in E/ 1 ^ si hanno i punti Ai ed A J2 che 



(') Btiliawllung dar proj-ictioiscMiii Vérhàltnisse dcr lìàume von verseli iedenen Dimen- 

 sionen etc. Math. Annalen. Bel. XIX- 



