si corrispondono proiettivamente, laonde si può considerare lo spazio E,/ 1 ^ 

 come due spazi sovrapposti dotati di n-+-l punti uniti; dunque vi saranno 

 ■n + 1 rette che attraversano i quattro spazi proposti, ed alla prima parte 

 del quesito, rigorosamente parlando, si sarebbe risposto; ma non sarà inu- 

 tile l'osservare che ognuno dei quattro luoghi rigati è segato da quello 

 spazio che non forma parte della sua terna, in n + 1 punti e che perciò è 

 dell'ordine (n-h l) c "'*°. Così per esempio in uno spazio E 3 , quattro piani 

 E/V,' E/ 2 -', E/ 3 -' 1 , E/^ danno origine a quattro luoghi rigati a tre dimen- 

 sioni e del 3° ordine i quali, da uno spazio E 3 sarebbero segati in quattro 

 cubiche gobbe, e da un piano, in tre punti. 



« Per rispondere alla seconda parte del quesito si faccia passare per i 

 fij (V 



due spazi E,,-,,-! , E^,^ , lo spazio E 2 /,,- che sarà unico ; esso se- 



(V (V 



gherà gli altri due E/ 1 ^, E/ 2 ^ secondo gli spazi E^,,^ , E,,.,^ ; dunque 



(V (V 



nel nuovo spazio B, ì f r _ n j_i staranno quattro spazi omonimi E p _„_ :1 , B / ,_„^ 1 , 



(V W , 



^•p-n-i , E^,,.! , e, poiché si ricade cosi nel caso prima considerato, si 



scorge che vi saranno p — n rette attraversanti i quattro spazi considerati 

 nella seconda parte del quesito. 



« Stabilite queste premesse ecco come si passa alla quistione degli 

 angoli. Quando due spazi si incontrano in un punto, le rette che stanno in 

 uno di essi e passano per quel punto, formano angoli sempre differenti con 

 quelle che stanno nell'altro e passano per lo stesso punto. Fra questi angoli 

 vi sarà certamente qualche minimo (e quindi qualche massimo)"; ma questo 

 minimo non può mai esser nullo, appunto perchè, per supposto, gli spazi 

 non hanno in comune che un punto, vertice comune a tutti quegli angoli. 

 Ora si può stabilire il teorema: 



« Un lato d'un angolo minimo è la proiezione ortogonale dell'altro e 

 viceversa. 



«Infatti sieno E p , E ? i due spazi che si incontrano solamente inE y ; 

 sia a una retta giacente in E p e proiettantesi ortogonalmente nella b che 



A 



giace in E 3 ; se ab è angolo minimo, sarà a proiezione ortogonale di b: poiché 

 se così non fosse si potrebbe sempre proiettare b ortogonalmente in E p , e, 

 detta c questa proiezione, le rette a, b, c formerebbero un triedro ordinario 



rettangolo, del quale ba sarebbe la faccia ipotenusa e bc una faccia cateto, 



A !\ A 



ed allora, per cose notissime, bc<Cba-, allora ba non sarebbe più angolo 



A 



minimo come fu supposto. Consegue che il supplemento di ba sarà un mas- 

 simo; poiché, se vi fosse un angolo os maggiore di quel supplemento, allora 

 il supplemento di ce sarebbe minore del minimo che, perciò, non sarebbe 

 più tale. 



Bendiconti — Voii. I. 18 



