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« La presente Nota ha per oggetto la determinazione dell'esatto numero 

 di soluzioni della precedente congruenza. Tale determinazione è ricca di 

 varie conseguenze. Tra queste citerò immediatamente il teorema: 



« Le congruenze : 



sono risolvibili se p^>5. 



« Prima di' venire all'argomento credo utile esporre una elegante dimo- 

 strazione della possibilità della congruenza x % — D^ 2 =X, gentilmente coni- 

 municatami dal sig. prof. Luigi Bianchi, poiché il principio che la informa 

 mi sarà giovevole ad un certo punto. Se X è residuo basta fare y = 0, 

 Xt=±\/ X. Se X è non residuo basta dimostrare che la differenza a — X la 



V — 1 



quale quando a percorra la serie dei - residui non è mai nulla mod. p, 



Li 



è talvolta residuo e talvolta non 1 residuo. Se essa fosse sempre residuo 



o non residuo , tutte le radici di x 2 = 1 sarebbero anche radici di 



p — i p— i p — i p— i p — i 



{x— \) % ifdz 1 e però anche di (x— Xp^- aF= 0 , o di (x—lj^- x^= — 2, 

 e si cadrebbe nell'un caso e nell'altro in una congruenza non identica con 

 un numero di radici superiore al suo grado. La dimostrazione suppone sol- 

 fo— 1 



tanto - — g — >1 cioè p>3. La congruenza è adunque risolvibile se p>3. 



« I. Teorema. Considerando come identiche due soluzioni conjugate 

 della congruenza x 1 — Dy 2 = X, due soluzioni cioè, che siano riducibili 

 Vuna ali 'altra con un cambiamento di segno operato sopra i valori della x 

 e della y, il numero delle soluzioni della congruenza, verrà dato da: 



^\ ^ dinotando ^ carattere "quadratico di D rispetto a p. 



« Si^consideri infatti la congruenza x 1 — D^ 2 =l supponendo D resi- 

 duo. Potremo scriverla come segue: 



{x-hy l/'D ) (x—y VT>) = 1 , 



e risolverla ponendo: 



x-hy \/D = g v , x — y\/~D = g~' J , 



d'onde : 



(1) x = \{g^g- J ), y = -L^(g'-g-*), 



- p 1 



essendo g radice primitiva. È facile verificare che la x assume - — ^ — va- 



lori fra loro incongruenti quando v percorre la serie dei valori : 0 , 1 , . . . ^ ? , 



Li 



e i valori medesimi ma cangiati di segno quando v percorre la serie 

 p — l 



■ — ^ — t*....p — 2. Se adunque stimeremo identiche fra loro le due soluzioni 



