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conjugate : (#,/3),( — ce, — /S) , è evidente che per avere tutte le possi- 

 bili soluzioni della congruenza, basterà attribuire come valori alla y tutti 



successivamente i ^ ^ numeri 0,1,.... ^ ^ , e calcolare per ognuno 



di essi i valori della a? e della y «con le (1). Il numero delle soluzioni della 

 p 1 



congruenza è adunque — -z — . Sia ora data la congruenza oc'' 1 — D'i/ = 1 con 



D' non resto. 



«Consideriamo insieme le due congruenze: 



x * _ 1 = , - 1 = D'i/ 2 . 



' : p 1. 



(D resto). Per ogni numero della serie 2,3,.. —x — dato come valore 



alla oc, verrà fatto di risolvere o la prima congruenza o la seconda, secondochè 



x 1 — 1 diverrà resto o non resto. Ad ognuno dei sopradetti ^ ^ valori 



Li 



della x corrisponderanno così due valori di segno contrario ma eguali e 

 diversi da 0 per la y , e questi, uniti a quel valore della x daranno due 

 soluzioni o della prima congruenza o della seconda. Otterremo così in tutto 

 p — 3 valori della y. Ciò posto, distinguiamo i due casi: p-=4?i + l, 

 0 = 4n + 3. Nel primo caso, siccome la prima congruenza può essere sod- 

 disfatta con x= 0 mentre la seconda non lo può, ed entrambe con x EE 1 , 



. HE.-.'-. p Ì i&ifi£&, • 



e d'altronde quando la .«"percorre la serie di valori: 0,1, . — , la prima 



di 



congruenza la quale ammette, come si vide, — - — soluzioni dà occasione 



Li 



0—1 



a — ■ valori della y che associati a convenienti valori della x la risol- 



vono, manifesto apparisce che dei p — 3 valori della y sopra menzionati, 



- 0 * — 2 proverranno dalla prima congruenza, e perciò p — 3 — {^"2 ^ — ^) 



dalla seconda. A questo numero aggiungendo una unità a causa della solu- 



0 + 1 



zione (1 , 0) della seconda congruenza, otterremo —x — come numero dei 



Li 



valori assoluti della y con i quali la seconda congruenza può venir soddisfatta. 



• -«fi '' 0 — 1 



Se poi 0=4n+3, dei p — 3 valori della y solo — ^ 1 proverranno dalla 



Li 



prima congruenza e perciò 0 — '3— ^- 2 1 — 1^ dalla seconda. A questo 

 numero aggiungendo 2 a causa delle soluzioni ^ 0 , =p y — ,(1,0) 



della seconda congruenza, si otterrà ancora - come numero dei valori 



della y con i quali la congruenza x % — D'y 2 = 1 b risolvibile. Il nostro Teo- 

 rema è adunque vero se Xe=1. 



