— 139 — 



« Consideriamo ora la congruenza generale: x^ — D^/ 2 = ).. Se X è resto, essa 

 equivale alla: #^|/^ D (^K^x) = 1 ' essen(io V '\ un determi- 



nato valore della radice di ì. L'ultima congruenza ammette, come si di- 



À 



mostrò, \ ((P~{^j S j soluzioni rispetto incognite a \/\^ , y\/\^ r e per- 

 ciò altrettante rispetto alle incognite x, y. Se poi \ non è resto, potremo scrivere 

 la congruenza come segue : — l~^y\ Ed ora, se D non è resto, sic- 

 come, per ciò che si vide, vi sono ^ valori che attribuiti alla y nel 

 secondo membro riducono questo alla forma ufi — 1, così ve ne saranno 

 f—^~ che lo riduranno alla forma vJ — 1 essendo xd non resto e per 



Li 



rffi p — |— 1 



ciò rappresentabile con -r-. Esistono così — 5 — soluzioni della congruenza. 



»+ 1 . 



Se poi D è resto, vi sono, come sappiamo, — valori della y per ì quali 

 Y?/ 2 è della forma iu- — 1 , e perciò ? ^ valori della y per i quali esso 



p — l 



è della forma w — 1 , ed esistono per ciò — ~ — soluzioni. 



u 



« Corollario. Se p = 4n-h 1 esistono nella successione ciclica 1,2,.... 

 p — 1 , n resti seguiti da resti, o non resti da non resti, o non resti da resti, 

 o resti da non resti. Se p = 4n -h 'ó esistono in quella successione n resti 

 seguiti da resti, o non resti da non resti, ed w-f-1 non resti seguiti daresti, 

 o resti da non resti ('). 



« Se infatti vorremo che i numeri a , a -hi entrambi diversi da 0 siano 

 resti, dovremo porre : x % = a , y 1 ~ a + 1 e risolvere la y 1 — x 1 ^ 1 con 



v 1 



x ed y diverse da 0. Se p=4n-h3 la congruenza ultima ammette — ^ — 

 soluzioni inclusa la (0, rt 1) e perciò ^ soluzioni con x ed y diverse 



Ci 



da 0. I quadrati dei valori di x danno così - - resti che sa- 



<u 4 



ranno certamente seguiti da resti. Vi sono adunque n resti seguiti da resti 

 anche se si consideri la successione p — 1,1 perchè i due numeri di 

 questa non sono entrambi resti. Un conto analogo si può fare se p = 4n-h 1. 



« Per trovare il numero dei resti seguiti da non resti, dovremo con- 

 siderare la congruenza: x* — cy*"— — 1 essendo <j un certo non resto. Ora, 



(') Serret, 1. c. 329. 



