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se p = 4/i-}-3 l'ultima congruenza ammette — soluzioni con a; ed y di- 



P + l 



verse da 0, e vi sono perciò ^ =n-\-\ resti seguiti da non resti. Se 



V) 1 



p = én-\-l la congruenza ammette — soluzioni con x ed y diverse da 0, 



Li 



e vi sono ^ = n resti siffatti. Analogo ragionamento per il numero dei 



non resti seguiti da resti o da non resti, nei due casi: p = 4n+ 3 , 

 p-_--4n-f- 1. 



« IL Risolubilità della congruenza: 



x} — D//EEEX mod. f . 



quando D è diversa da 0. 



« La sopra scritta congruenza, se À è resto, si può risolvere con 

 £cEE=t=l/X, 2/ EEO. Non dobbiamo adunque occuparci di essa quando X è resto. 

 E neppure quando p = £n-\-3. Infatti, se p = 4n-t-3, i resti quadratici 

 sono anche resti biquadratici e viceversa. Così che, risolta con £cEEà?i, 

 z^zi la congruenza x?* — D3 2 EEX, si avrà: x^x — Dz 2 i EEX. E poiché 

 z' ì iEEy l \, si avrà ancora: x l x — D/^EEX. Limitiamoci adunque all'ipotesi: 

 p = 4n-+-l e X non resto. 



«Ponendo successivamente: z==l ,2 , . . .p — 1, si troveranno, se D 



è non resto, o ^ valori di z con i quali la congruenza oJ 1 — Dz-EEX 



Li Li 



è risolvibile. Ora, poiché il minore di questi numeri supera di una unità 

 il noto numero dei resti e dei non resti, i suddetti o ^~t~^ valori 



Li Li 



di s né saranno tutti resti uè tutti non resti. Vi sarà adunque almeno 

 un valore resto ziEE?/ 2 i della z, per il quale la: x % — Dz 2 EEX sarà risol- 

 vibile, e perciò, ponendo: yEE-tìfi sarà con uno di questi valori di y 

 risolvibile la: x 2, — Dj/ 4 — X. 



« Supponiamo adunque resto la D. In questa ipotesi, se, contraria- 



x % \ 



mente a ciò che si vuol dimostrare, la forinola — — non potrà rap- 

 ala x 



presentare un quadrato di resto, siccome la congruenza — ^ — ■ — z^ am- 



rf) \ P 1 



mette — soluzioni ed esistono quindi ^ — valori di z non maggiori 

 di — ed escluso evidentemente lo zero, i quadrati dei quali sono 



Li 



rappresentabili con — ~— , quest'ultima formo] a potrà per — va- 



D Li 



lori della x diversi da 0 e fra loro incongruenti, rappresentare un quadrato 



p-i 



di non resto ossia una radice della congruenza : tu 4 ~ — 1 . Facendo adunque 



