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p — 1 



successivamente: x = 1, 2,.... p — 1, esisteranno — di questi valori 



a 



che verificheranno la congruenza : l — ^ — J 4 = _ 1. Quest'ultima, rida- 



p — i p— i 



cibile alla (# 2 — X) "* = — lo alla (se? — X) 1 secondo che sia 



p — i p — i 



D i = 1 o D 4 = — 1, avrà così tante radici quante ne indica il grado. 

 v— 1 



Ed i numeri che la soddisfano non potranno essere tutti resti o tutti 



tu 



non resti. Infatti se, per fissare un caso, si voglia supporre che le radici 

 p_-i 



della : (x % — X) 4 = — 1 siano resti tutte, o tutte non restì, si dovrà am- 



p— i p—\ 

 mettere che esse soddisfino tutte o alla: x~= 1, o alla: a? 8 = — 1, e 



p— i p — i p— i p— ì 



quindi, o alla: (x^ — 1)~= 2, o alla: oc~— (^— X) T =0, e 



si cadrà se p > 5 in congruenze dotate di radici in numero superiore 

 al loro grado. 



« Esistono adunque per la x valori resti e valori non resti atti a 



x % y p—i . 



rendere quadrato di non resto. Se D 4 = 1, dicendo a 2 uno di- 



siffatti valori resti della x, avremo una identità della forma : — n — — t % 



vale a dire : (t |/D)* — D 



D 



I g— — X. E se D 4 — — 1, rappreseli- 



tando con a 1 l/D uno dei sopradetti valori non resti della ùn'iden- 

 tità della forma: — — — Er i 2 , riducibile alla : (ift/I)) 2 — D? 4 EE — X. Ap- 

 parisce così che, se D è resto, si può sempre risolvere la: ar 2 — D_y 4 E: — X 

 posto che la a? — Dy l EE}. non sia risolvibile. Ciò dimostra il teorema 

 nell'ipotesi: p — 8 n 4- 1. Se infatti in questo caso si ammetta come ri- 

 solvibile la # 2 — D,y 4 = — X anziché la x l — Dy' 1 Eie, per conseguenza, 

 come esistente una identità della forma x' 1 — Dì/ 4 = — X, moltiplicando 



p-i 



ambedue i membri di questa per g 2 , essendo g radice primitiva , si 



/ p-nt l p-i\i 

 otterrà: \x'.g 4 ) —J)\y'.g* ) =1. 



« Se p = 8 n + 5, ricorderemo di aver dimostrato che, posta l'im- 



( x t ) \ p-i 

 — Y) — ' ) 4 =■ — 1 ) am_ 



mette almeno una radice resto ed una almeno non resto. Ciò posto, distin- 

 p— i p— i 



giriamo i due casi: D ' l = — 1, 1; Nel primo caso, approfittando 



