fra gli elementi: x — (0, 1, 2, .... p — l,oo), dicesi il gruppo modulare 

 della trasformazione di grado p. Dimostro qui appresso un Teorema note- 

 vole relativo a siffatto gruppo. Da questo Teorema scaturisce immediata- 

 mente, come corollario, la nota proprietà : Il gruppo è semplice se p > 3. 



1. « Chiamando affini due sostituzioni di un gruppo qualsivoglia quando 

 si possono trasformare una nell' altra con sostituzioni del gruppo , è noto 

 che le sostituzioni di questo sono ripartibili in categorie di sostituzioni 

 tra loro affini. Ciascuna categoria rientra in sè medesima quando la si trasformi 

 con sostituzioni del gruppo. La ripartizione pel gruppo modulare è poi de- 

 finita dal seguente : 



« Lemma. Le sostituzioni : (a, (i, y, 9 — ex) == ( — a, — (3, — 7, a. — 0) , 

 si spartiscono in p — 1 categorie di sostituzioni affini, ordinatamente cor- 

 rispondenti ai p — 1 valori assoluti diversi da 2 della quantità 6, e in 

 tona classe eccezionale corrispondente al valore 2 della quantità medesima. 

 QuesC ultima classe si spezza in tre categorie di sostituzioni affini. La 

 prima di queste è composta della sola identità, la seconda, che diremo 

 categoria A, delle sostituzioni (a, jS, 7, 2 — a) per le quali /3 è resto eli 

 quadralo, e delle (1, 0, 7, 1) per le quali — 7 è resto, e la terza, la B, 

 delle rimanenti sostituzioni della classe 2. 



« Gli sviluppi relativi a questo punto esporremo in una breve Nota II. 

 che farà parte del prossimo fascicolo dei Rendiconti, e perciò veniamo senz'al- 

 tro al Teorema che vogliamo dimostrare. 



2. « Teorema- Date due sostituzioni S, S' del gruppo modulare 

 diverse daW unità, si possono ritrovare nel gruppo istesso due sostittozioìii 

 trasformatrici Ti , T 2 , tali, che sia : 



(Tf 1 ST,) (T 2 - J ST S ) = S'. 



« Possono fare eccezione i seguenti casi : 



S parabolica ed S' iperbolica se jo = 4n + l ('), 

 S » » » ellittica » 2 ) = 4n-f-3, 

 S a periodo 2 » » parabolica » p= 4?i-j-3. 



« Se p =4 n ■+- 1 , si potrà tuttavia ottenere qualunque siano S ed S' 



una eguaglianza della forma : 



(Tr^T,) (Tr 1 ST 2 ) = S'. 

 « Lo stesso avviene se p = 4nH-3, se pure S non sia a periodo 2 

 ed 8' parabolica. 



(') È noto che le sostituzioni del gruppo si distinguono in paraboliche, iperboliche 

 ed ellittiche secondochè lasciano immobile uno 0 due elementi ovvero li spostano tutti. 

 La sostituzione (a, (3, 7, g) è poi parabolica iperbolica 0 ellittica secondochè la quantità 

 (a-H8)2 — 4 è nulla, resto (di quadrato) 0 non resto. Le sostituzioni d'ordine 2 0 a pe- 

 riodo 2 sono poi quelle per le quali: a -4-3 = 0. 



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