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« Basterà dimostrare, e dimostreremo, che tranne i casi di eccezione 

 enunciati nel Teorema, si possono sempre assegnare due trasformate di S v 

 (v = 1 nei casi contemplati dal Teorema), e di S rispettivamente, ma tali, 

 che il loro prodotto riesca affine ad S', vale a dire, che si può sempre ot- 

 tenere T eguaglianza : 



(Hr 1 S v Hj) (Hr 1 SH 4 ) = H3- 1 S' H 3 

 per Hj , H» , H 3 scelte convenientemente nel gruppo. Infatti dall' ultima 

 eguaglianza segue : 



H 3 Hr 1 S v Hi H^ 1 SH 2 H3- 1 = S', 

 ovvero posto: H^Hr^Tr 1 , H 2 H 3 -1 — T 2 , 



(Ti-!S v Ti) (T^ST^S'. 

 3. « Supponiamo adunque in primo luogo che uè S uè S' apparten- 

 gano alle categorie eccezionali A e B. In questo caso, siccome l'affinità di 

 una sostituzione con S 0 con S' equivale all' eguaglianza del valore asso- 

 luto del suo invariante 0 di affinità con quello dell' invariante di S 0 di S', 

 avremo dimostrato il Teorema quando avremo stabilito che: del gruppo 

 modulare si possono sempre assegnare due sostituzioni dotale del mede- 

 simo invariante dato , e tali, che il loro prodotto sia dotato di un certo 

 invariante, dato anch'esso comunque in valore assoluto. A stabilir ciò, 

 supponiamo essere 0] , 1' invariante dato e che dev' essere comune ai due 

 fattori del prodotto, e k l il quadrato dell' invariante che si vuol dare a 

 quest' ultimo. I due fattori essendo : (a, fi, 7, 0j — a), (zi , |3, , 71 , 9i — ai), 

 sarà : aai + /?i 7 4- 71 /?+ (0i — ex) (#i — aj) l' invariante del loro prodotto. 

 Si deve dimostrare che si può sempre risolvere la congruenza: 



(1) a*i + /3,7 + 7i/3 + (9i — a) (0i — a,) = zì= k 

 disponendo all' uopo dei numeri a, 7, ai , § x , 71 già soggetti alle con- 

 dizioni : 



(2) a (0, - a) - 07 = a, (9, - ai) - /Si 71 = 1 , 



e della arbitrarietà del segno del 2° membro. Dalla (1) eliminando 7 e 71 

 per mezzo delle (2), si ottiene : 



(3) /3i 2 (a (0, - a) - 1) + 0, fi ((0, - a) (0, - a,) + m q= k) + 



+/S 2 («i(Si-*i)-l)=0. 

 Ora, perchè la (3) sia possibile per valori diversi da 0 del prodotto /3i [i 

 pel quale fu moltiplicata la (1), convien dare alle quantità a , ai valori 

 tali, che il discriminante del primo membro sia resto di quadrato, tali cioè, 

 che sia: 



i' ! = ex) (Si— «1) +«a 1 rpft) 2 -4(a (0,— «)- l) (a, (0i— «,)— l) . 

 Dimostreremo che ciò si può sempre fare se p> 3. Possiamo infatti ri- 

 durre la precedente condizione alla forma : 



t- ~ {é + ai 2 ) (9? - 4) -+- 20i (a + «,) (± ft — 0 X * + 2) + 

 H-2a^, (9 l ^2k)-h{9 l ì mk)^ — A 



