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il secondo membro della quale è di secondo grado rispetto alle variabili 

 a, «i. Per risolvere quest'ultima congruenza nel modo il più generale, 

 porremo : « -f- a, = p. , occx\ =Ev ed otterremo : 



l*~^ 5 (9, 2 -4) + 2a9, A — 9, 2 + 2) — 4 v (± fc — 2)4- (9,* + Af — 4 . 

 Ora affinchè, dati due valori [j>\ , y, di ^ e y per i quali quest 1 ultima con- 

 gruenza sia risolvibile, si possano determinare i corrispondenti valori di u 

 e di u.\ , è necessario e sufficiente che la quantità a} — 4 v sia resto mocl.p, 



che sia cioè: \x- — 4yE=cr, ossia: vEE . Sostituendo, e ponendo : 



;j. — 0, Eii co , otterremo dopo alcune facili riduzioni : 



= {0^ k - 2) u 2 + (di /c - 2) s 2 — (9, 2 3= & — 2) (=£ fc — 2) . 

 Una congruenza quale quest'ultima, è sempre risolvibile rispetto alle va- 

 riabili t, so, a, che anzi il valore di una delle variabili può in generale 

 esser dato arbitrariamente ('). . 



4. « Supponiamo in secondo luogo che S non appartenga alle cate- 

 gorie A , B , ma che vi appartenga S'. Se 9, è l'invariante di S , le due 

 sostituzioni : (0 , — 2" 1 9," 1 co, , 29, co," 1 , 9,) , (9,,— 2' 1 Or 1 ©i , 29, sor 1 , 0) , 

 saranno, se (9, è diversa da zero, affini con S , ed ammetteranno il prodotto: 

 ( — 1 , — co, , 0 , — 1). Otterremo adunque un prodotto parabolico della ca- 

 tegoria A o della B , secondochè per co, sceglieremo un resto o un non resto. 

 Il caso 5, = 0 per p = 4n + 3 non deve essere considerato perchè escluso 

 nella enunciazione della prima parte del nostro teorema, che è quella che 

 per ora intendiamo stabilire. Sia adunque: 9, = 0, /e = 2 e p = An~\-l. 

 La condizione (3) diverrà: a\3 — 8\ a -1^ -t- (/3 + /5 t ) V — 1. Disporremo 

 di 8 e di fty in modo che essi siano diversi da zero, e la quantità 

 =t(/3 + /3,) V — 1 sia diversa da 0 e appartenga alla specie quadratica che 

 corrisponde alla categoria di S'. Le sostituzioni: (ce, 8, 7, — a), (?,, /3,, 71, — «1), 

 quando la a e la a.\ siano state determinate in modo che soddisfino all'ultima 

 congruenza, saranno affini con S, e il loro prodotto: 



(ai«-f-/3i7, a,/3 — /3,a, ....) 



con S'. 



« Supponiamo ora che S ma non S' appartenga alla categoria A 0 alla B . 

 Nella (3) pongasi: 9, = 2. Essa diverrà: 



(7) (0, («-l)-i3(« l - 1))*= fa 8 (2 - k) . 



« Ora, se vogliamo che le: («, /$, 7, 2 — a), , /3, , 71, 2 — a,) rie- 

 scano affini alla sostituzione parabolica S, dobbiamo disporre di 8 e di /3i 

 in modo, che essi siano numeri di una medesima e determinata specie (qua- 

 dratica 0 no secondo la specie di S). In tal caso, sebbene la (7) sia sempre 



(') Veggasi la mia Nota precedente; Inforno ad un Teorema di Lagrange 



