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possibile per valori di fi e fif diversi da 0, non potremo tuttavia, deter- 

 minati per fi e fii due valori qualisivogliano ma della medesima specie, 

 soddisfare poi con a e con v.\ alla (7), se una delle quantità : 2-h/c, 2 — k, 

 non sia resto. Tuttavia se 4 — ìC- non sarà resto, (e per ciò 2 -Me o 2 — k 

 sarà resto), la (7) sarà possibile. La quantità: 4 — k l — — (li 1 — 4) è poi 

 non resto quando S' è ellittica se p = 4«-hl, e quando essa è iperbolica 

 se p = 4nH-3. Sono così giustificate le possibili eccezioni alla prima parte 

 del nostro teorema. 



5. « Supponiamo finalmente che 2 sia l'invariante di S', e 2 altresì 

 quello di S. Abbiamo: (l,/3, 0, 1) (ì\ fi u 0, 1) = (l,fi-h fi u 0, 1). As- 

 sumiamo per /3i un numero diverso da 0 e della specie quadratica di S, 

 e per fi un numero della specie di fi x , ponendo : fi = fi\ co 2 , con co diversa 

 da 0. Determiniamo inoltre co in modo che anche 1+co 2 sia diversa da 0, 

 e il prodotto: /3j (1+co 2 ) della specie quadratica di S'. Ciò si può sem- 

 pre fare. Infatti se per ciò dovesse la specie di l + co 2 essere ad es. 

 quella dei non resti, si potrebbe nella serie : 1 , 2 , . . . . p — 1 trovare 

 un resto non seguito da resto ('). Eguagliando co 2 al resto, ed co alla radice 

 di questo, si otterrà l'intento. Le due sostituzioni: (1 , fi , 0 , 1), (1 , fi\, 0 , 1) 

 saranno dopo ciò affini ad S, e il loro prodotto ad S', 



« Il nostro teorema rimane così dimostrato quanto alla prima parte. 



« Per dimostrare la seconda, dobbiamo tornare al caso di eccezione : 

 S parabolica ma non S'. Sia: S = (Xi , «i , V\ . 2 — Xi ). Sarà vy.\ il secondo 

 coefficiente della sostituzione parabolica S v . Eisolviamo la (7) (ossia la (3) per 

 Oi = 2), scegliendo fii in modo, che la (v. u fi u y,, 2 — y.\) riesca affine con S. Ciò 

 facendo, il carattere quadratico di fi potrà, come dicemmo, riuscire deter- 

 minato. Quando ciò sia, esisteranno nondimeno numeri y tali, che la quan- 

 tità v/jlj abbia comune con la fi il proprio carattere. Le sostituzioni : (et , fi , 

 y, 2 — («i,/3i,yii 2 — a,) le costanti delle quali soddisfino alle con- 

 gruenze (2), (7), ammetteranno =t/f come invariante del prodotto, che per 

 ciò sarà affine ad S', e saranno affini con S v e con S rispettivamente, così 

 che sussisterà l'eguaglianza: 



(Hr 1 S v Hj) (Hr 1 SH 2 ) = H3- 1 S' H 3 . 



6. « Semplicità del gruppo. L'eguaglianza ultima dimostra che il 

 gruppo non può contenere sottogruppi eccezionali (ausqezeichneten). 



« Supponiamo infatti che una S diversa da 1 appartenesse a un sotto- 

 gruppo siffatto. Vi apparterrebbe S v e il prodotto: (Tr 1 S v T,) (Tr 1 S T 2 ), 

 che per Ti , T 2 scelte convenientemente nel gruppo, è riducibile a qualsi- 

 voglia sostituzione di questo. Il sottogruppo si ridurrebbe così al gruppo 

 totale. Questo ragionamento cessa di essere efficace se^ = 4n + 3, S a pe- 

 riodo 2, ed S' parabolica. In tal caso, si potrebbe mediante il sopra scritto 



(') Serrct, Cours d'Algebre supèrieure T. II, 329, 



