« Sia S una superficie a curvatura costante K positiva o negativa, 

 P 0 un suo punto fisso, P un punto mobile sulla medesima superficie, la 

 cui distanza geodetica da P 0 indicheremo con 5. Se in P eleviamo la nor- 

 male ad S e ne stacchiamo (in un determinato senso) un segmento infi- 

 nitesimo PP' proporzionale a cos (5 . V K) , il luogo degli estremi P' dei 

 segmenti è una nuova superficie S' colla medesima curvatura costante K. 

 Sopra 8' ripetendo là stessa costruzione si avrà una nuova superficie S'\ 

 da questa una quarta S'" e così di seguito e il sistema oo 1 di superficie 

 a curvatura costante K così ottenuto farà parte di un sistema triplo di 

 superfìcie ortogonali. 



« I notevoli sistemi tripli ortogonali, la cui esistenza è stabilita dal teo- 

 rema precedente li chiamerò sistemi di Weingarten. 



1. « Indico con 2 le superficie a curvatura costante K che fanno parte 

 di un sistema di Weingarten, con 2i , li le superficie degli altri due sistemi 

 e con C le curve intersezioni delle 2i , 2% , cioè le curve traiettorie ortogo- 

 nali delle 2. 



« Le normali principali delle curve C nei punti d'incontro con una su- 

 perficie 2 sono tangenti alle geodetiche Gr di 2 uscenti da un punto fisso 

 sopra 2 (il punto P 0 della costruzione di Weingarten). Se si pone per sem- 

 plicità K = =t 1 si ha che il raggio p di l a curvatura delle curve C in un 

 punto d'incontro P con 2 è eguale alla curvatura geodetica di quella tra- 

 iettoria ortogonale (circolo geodetico) delle geodetiche Gr sopra 2 , che esce 



da P. La flessione - delle curve C l'indicherò anche, per brevità, come fles- 

 P 



sione del sistema di Weingarten. 



« Anzitutto mi sono occupato delle condizioni geometriche determinanti 

 i sistemi di Weingarten ed ho stabilito il teorema : 



« Scelta arbitrariamente una superficie iniziale 2 0 a curvatura co- 

 stante e una curva C 0 , uscente da un punto di 2 0 normalmente alla su- 

 perficie stessa, esiste sempre uno ed un solo sistema di Weingarten, al 

 quale appartiene la superfìcie scelta 2 0 e che fra le curve C ortogonali 

 alle superfìcie 2 contiene la curva data C 0 . 



« Merita speciale menzione il caso in cui la superficie iniziale 2 0 es- 

 sendo a curvatura negativa — — ¥ , la curva scelta C u abbia costante =R 



ri" 



il raggio di l a curvatura, poiché allora: 



« Tutte le curve C ortogonali alle superfìcie 2 sono a flessioyie co- 

 stante 



« Questi sistemi tripli speciali, corrispondenti al caso in cui il punto P 0 

 nella costruzione di Weingarten si assuma a distanza infinita, li dirò sistemi 

 di Weingarten a flessione costante. 



