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« Se la curva C 0 è un circolo di raggio R, tutte le altre curve C sono 

 circoli di raggio E e si ha un sistema triplo ciclico ortogonale di Ribaucour. 



2. « Se si assume un sistema triplo di Weingarten a curvatura nega- 

 tiva K = — 1 per sistema di coordinate curvilinee w, v, w dello spazio, l'ele- 

 mento lineare ds dello spazio prende la forma: 



(1) ds' 2 - = cos 2 6 éktf*+- sen'- 0 dv* + (~j dw *~> 



che il sig. Darboux ha stabilito in particolare pei sistemi di Ribaucour ( 1 ). 



« Le 6 equazioni di Lamé per i coefficienti dell'elemento lineare si 

 riducono nel caso attuale alle tre seguenti: 



1*8 1*0 



— r — ■ — r = sen 0 cos 0 



lu* 1v* 



(2) i/_ì_ J*\ 

 ) lu \ costì lud-w / 



„10 , 1 10 1*8 



= cos C 



1w sen 0 1v ii> liv 

 1*0 cosO 1)0 1*0 sen0 10 1*0 



lulvliu senOlulvlw cos 0 iv lu liv ' 



« Ogni sistema triplo di Weingarten a curvatura negativa K = — 1 dà 

 una funzione 9 delle tre variabili u, v, w che soddisfa alle tre equazioni 

 simultanee (2) alle derivate parziali e viceversa ad ogni soluzione 9 delle (2) 

 corrisponde un sistema triplo di Weingarten. 



« Per i sistemi di Weingarten a curvatura positiva K = + 1 valgono 

 forinole analoghe, cangiate le funzioni circolari cos 9, sen 9 in funzioni iper- 

 boliche cosh 9 , senh 9. 



3. «Se 9(u, v, w) soddisfa le (2) e definisce quindi un sistema 2 di 

 Weingarten a curvatura K = — 1 anche la funzione v, tu) determinata 

 dalla equazione : 



cos© 1*0 sen© 1*0 10 



costì lulw sentì ~òv~òw iw 

 soddisfa alle (2) e definisce perciò un nuovo sistema 2' di Weingarten. 



« La relazione geometrica fra i sistemi 2,2' si ottiene colla consi- 

 derazione seguente. Perchè l'angolo y definito dalla (3) sia reale è neces- 

 sario e sufficiente che la flessione - (n. 1) del sistema 2 di Weingarten 



o ° 



sia> 1. Supposto -> 1 , le geodetiche G (n. 1) sopra ogni superficie 2 sono 



ortogonali ad una determinata geodetica 7. Se ora sopra 2 consideriamo il 

 sistema F di linee geodetiche parallele in una direzione 0 nell'altra alla 

 geodetica 7 e della superficie 2 assumiamo la complementare rispetto a V 

 nel senso stabilito nella mia tesi di abilitazione ( 2 ) otterremo precisamente 



(') Comptes Rendus de l'Acade'inie des Sciences- 2 mc se'mestre, 1883. 

 O Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, 1870; od anche: Matliematisclie 

 Annalen Bel. 16. 



