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la superficie 2' corrispondente del nuovo sistema di Weingarten. Chiamerò 

 perciò 2' sistema complementare di 2. Così da ogni sistema noto 2 della 

 specie anzidetta si ottengono due nuovi 2', 2" complementari di 2 e della 

 medesima specie. Ripetendo sopra 2' la stessa costruzione si avranno due 

 sistemi complementari, dei quali uno sarà 2 stesso e l'altro 2\ sarà in 

 generale diverso da 2 e da 2". In tal modo procedendo si ha il risultato : 

 « Da ogni sistema noto di Weingarten a curvatura negativa K = — 1 



e a flessione 1 possono dedursi senza calcoli d'integrazione infiniti 

 P 



nuovi sistemi della stessa specie. 



« Se però il sistema 2 di Weingarten è a flessione costante, non si 

 ottiene che un nuovo sistema complementare 2' , sul quale ripetendo la 

 stessa costruzione si ritorna a 2. In questo caso le curve C traiettorie orto- 

 gonali delle superficie 2' sono i luoghi dei centri di curvatura per le curve C 

 traiettorie ortogonali delle 2 e inversamente. Nel caso limite di un sistema 

 ciclico 2 di Eibaucour il complementare 2' si riduce ad una unica superficie. 



4. « Fra i sistemi tripli di Weingarten citerò quello formato di tre 

 sistemi di elicoidi coassiali a curvatura costante negativa per due dei sistemi 

 e positiva per il terzo, caratterizzato dalla forma: 



ds % = a 2 su' 2 v-j-w) du 2 + b" 2 cri 2 (w+?; + w) dv 2 

 + c 2 dri 2 + w) dw 2 

 dell'elemento lineare dello spazio e discusso in una mia Nota, che si sta 

 stampando negli Annali di matematica. Citerò inoltre quelli ottenuti da ogni 

 superficie di Enneper a curvatura costante (positiva o negativa) e con un 

 sistema di linee di curvatura piane. I piani di queste linee di curvatura 

 passano per una retta fissa nello spazio, Vasse della superficie. Facendo ruo- 

 tare la superfìcie di Enneper attorno all'asse si ottiene un sistema 2 di 

 superficie che appartiene ad un sistema di Weingarten. Ciò mostra altresì 

 che: Sopra ogni superfìcie di Enneper le linee geodetiche si determinano 

 con quadrature ». 



Matematica. — Un teorema relativo al gruppo della trasfor- 

 mazione modulare di grado p. Nota II. del dott. GL Frattini, 

 presentata dal Socio Blaserna. 



« Nota. Trasformando la (oc, /5, 7, S) con la (m, n, r, s) e supponendo 

 che il simbolo (oc', fi, 7', 5') corrisponda ad una delle due forme analitiche 

 della trasformata, avremo: 



a' = s(wi«H- ny) — r(m/?+?iS); m (w/?-f-w8) — n(moc~\-ny) 



7' = s (ra + sy) — r (r(j ~\- $§) ; 5' = m (r{3 + s§) — n (ru + sy) 

 dalle quali, in grazia della ms — nr =E 1 , si deduce : 



«' + 8'= «-(-8 . 



