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« 2. Nel caso particolare: 



le due equazioni del second' ordine, trasformate colle sostituzioni: 

 divengono: 



W + W 2/' + A ^2 a + & - 3 - B iJ[ 4AC + K6/t-3ò + 6 ^ = 0, 



<K' + 2pf + A (2[j. 4- è - 3 - B , J 4AC — l^6fc — 36 + 6^ = 0, 

 purché p. sia una radice della: 



2 , 1 7 3 , 1 9 A 



« Ora la sostituzione : 



( 



B Y_ B 2 — 4AC 

 2A / ~ 4A 2 



trasforma le due equazioni nelle ipergeometriche : 



j < i -^>(I-( 2 ^I)»)S-t(^+ 6 - 3 -™-^^ s ^)-' , = 0 - 



« Indicati con ^ , y t due integrali fondamentali della prima, e con yji , vja 

 due integrali fondamentali della seconda, l' equazione del quart' ordine : 



<pvF 4~|y V" -h (bf + g) u" + -i (3& — 5) 9"' u' + fyiv w — 0 



sarà soddisfatta dai quattro prodotti: 



(l-^-^vj!, (ì-sr-w, 



i quali costituiscono un sistema di integrali fondamentali. 



« 3. Le precedenti trasformazioni sono in difetto per : 

 B 2 — 4AC = 0 . 



« In questo caso si troverà facilmente che le due equazioni del second' or- 

 dine hanno la forma : 



x l y" -h (lod 1 ~{-m)y = 0 

 in cui l ed m significano costanti. 

 « Colle due sostituzioni : 



in cui v significa una radice della : 



4v 2 H-2v-M = 0, 

 l'equazione si trasforma nella: 



dhb / n 3 A da, . 1 



ds 2 \ 2 / dz 4 

 la quale si può integrare mediante funzioni Besseliane ('). 



(') Lommel, Sludien ùber die B&ssél'schm Funclionen, Leipzig 1868. 



