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Matematica. — Sur la detérmination de la parile algébrique 

 de l'intégrale des fondions rationelles. Nota del prof. F. (jomes-Teixeira, 

 presentata dal Socio GL Battaglini. 



I. « Dans le Cours d' Anali/se de M. Herinite on trouve (page 263 et 

 suivantes) deux savantes méthodes pour la recherche de la partie algébrique 

 de l'intégrale des fonctions rationnelles, dont la deuxième est indépendante 

 de la connaissance des racines du dénomiuateur de la fonction donnée. 

 Nous allons voir qu'on peut aussi rendre la première méthode indépen- 

 dante de cette connaissance en employant les théorèmes de la théorie des 

 fonctions syniétriques rationelles. 

 « En effet, soit : 



Fi {?) _ Ft (x) 

 ¥{x) M* N.5 Pv 



la fonction proposée, et 



M. = (oc — ai) (x — a % ) (x — a n ) = x ìl + h x x n ~ l -+- /i 2 a?" -2 -+- 



N = (x — a' x ) (x — a'i). .. . (x — é\) = x n 4- h\ x?- 1 + h\ a;"" 2 +■..... 

 P = («- a'\) [x— a'\) ... (x — a" q ) = afl-h K\ ■+ ti\ x^ + . . . . 

 etc, 



M, N, P, etc. étant obtenus au moyen de la théorie des racines égales. Nous 

 avons : 



F t (x) AB L 



F (x) x — ai x — «2 oc — a n 



A' B' 1/ 



H r+ ■ + • • • • H r 



a? — a] a; — a' 2 a? — a p 



^" ?w 



(D (x) 



où l'on représente par ' ; '' la somme des fractions simples dont le dégré du 

 f fp (oc) . & 



dénominateur est supérieur a l'unite. 



« Cela posé, M. Hermite fait voir que le numérateur f (x) de la partie 



algébrique de l'intégrale de la fonction donnée peut ètre calculé au moyen 



de la formule suivante : 



f (x) = 7r, (a?"- 1 -+- p, x m ~^ + .... + p m _i) 



+ w s (a?" 1-2 + p! a?'"- 3 + + p m _ 2 ) + -f- rc ffl _i (a?+pi) -f- ft,„, 



où est 



p (a?) = aj m + pj + p 3 a7 ;,ì ~ 2 4- -f- p m , 



et 



so ft — 2 A a k 

 k = 7U ' 



Rendiconti — Vol. I. 25 



