«i, é»2) W3, etc. étant obtenus au moyen du développement 



Fi (x ) cai fi> a 6)3 



F(£C) a 3 • ""' 



qui résulte de la division algébrique de F t (x) par P (x). 



« Dans cette méthode 2 A 4 % représente la somme 

 2 A /t a, £ = A «i + B a 2 + — + L a„ + A' a\ -|- B V 2 + — + I/a' p -h — , 

 et elle peut étre calculée au moyen des théorèmes de la théorie des fonctions 



symétriques rationnelles sans la connaissance des racines ai, a 2 , a/, a/, . . . 



En effet, cette somme est une fonction symétrique rationnelle séparément 

 de di, cii, . . . ; de a/, a{, .... ; etc., puisque on sait par la théorie de la dé- 

 composition des fractions rationnelles, que A, B, C, . . . . L, A', B r , . . . . sont 

 des fonctions rationnelles de Ol\, 0/2, .... din, Oi\ , 0>{, • • • . Q/n ', etc, et qu'on 

 passe de A pour B, C, etc, échangeant ai par a t , a z , etc. D'un autre còte on 

 sait toujours ramener le calcul des fonctions symétriques rationnelles des 

 racines d'une équation à celui des sommes des puissances semblables de ces 

 racines ('), c'est-a-dire, dans notre cas, à celui des sommes : 



ai ! ' + a% { + . . . . -f- a n l 



*V^<»V+ — -f-«V 



qui sont calculables au moyen du théorème de Newton en fonction de 

 h u h%, .... ; de h\, h\, .... ; etc. 



II. « Pour trouver la partie transcendante de l'intégrale de la fonction 

 rationnelle il faut connaìtre les racines du dénominateur. Mais on peut 

 obtenir le développement en serie de cette intégrale au moyen des théorèmes 

 de lu théorie des fonctions symétriques sans la connaissance de ces racines. 



« En effet, développant en serie les fractions simples dont le dénomi- 

 nateur est du premier degré et additionnant les résultats, nous trouvons un 

 résultat de la forme suivante: 



A 2k . 2ka _2ka? 



2 = H k— — — 5 (-...., 



x-r-a x x 1 x A 



dont l'intégrale est 



vai / x 1 v a ^ A a 2ka l 

 SAlog {x-a) = logx2k — — — 2 .... 



« Donc il faut calculer les sommes 2 A, 2 A a, 2 A a 2 , etc, qui sont des 

 fonctions symétriques de a u « 2) • • • • «■»; de 0! 1, ùl ' 1, .... 0! „ ; etc, et qu'on 

 peut par conséquent obtenir au moyen des théorèmes connus, sans résoudre 

 l'équation P {x) = 0 ». 



(') Gli. Biehlcr, Sur le calcul des fonctions symétriques des racines d'una cqualion. 

 (Nouvelles Annales de Mathématiques, 3 sèrie, tome III, 188-1). 



