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la prima delle quali permette di esprimere la ui% m in funzione lineare 

 delle u,.l"\ w r < ),.... w/, u r ; mentre, colla seconda, si può esprimere la 

 stessa UrXnn in funzione lineare delle u,.("\ u,. (n ~ l \ . . . u r (' l ~ m K Eguagliando 

 le due espressioni di u ( ?l mn si ottiene un' equazione differenziale lineare omo- 

 genea dell'ordine rì n0 . soddisfatta dalle potenze r %e . delle radici della (a). 



2. « Ma, modificando un poco questo processo, si può ottenere diret- 

 tamente, per alcuni valori di r, un'equazione dell'ordine (n — l) mo . Infatti 

 dalla (I) si ricava, per la ulXnm, un'espressione della forma: 



D„_i x n u,l n ~V H- D»_2 d n ~ l .... + Di w/+ D 0 xu r + Ew^j, 



nella quale le D e la E significano costanti; e si ha in particolare: 



™ / n Y n / a/ o\ ■ n(n— 1)\ 



\n — m / (n— m)' l \ v ' 2 / 



E= — j(m-H")(w— 2m— r)(2n — 3wi — r),...(-« (n — 2) — m(n— 1) — ri 



« Similmente si ricava dalla (II) : 



in cui le G significano costanti, e, in particolare: 



G ^=J^ny' ( wr+n 2 ~ TO (W ~ 2) ) ' 



G„_ m _i =t — — 77, (»" — n+2in) (r — 2 n+3w)....(V— mw+(m+l)m) . 

 (n — m) v / 



« Perciò, eguagliando le due espressioni di wfcim si otterrà un' equa- 

 zione differenziale lineare omogenea dell'ordine (n — 1)'"". per tutti quei valori 

 di r i quali annullano la E. Osservando inoltre che, pei valori di r della 

 serie : 



n — 2m, 2n — 3w, (m — l)n — m 2 , mn — (m-f-l)m, 



si annullano insieme la E e la G„_ w _i, è chiaro che, per questi valori, l'equa- 

 zione differenziale ha la forma: 



+ (D„_ m ^-G^^+D^ « 



+ Di im/ H- D 0 w r = 0 

 3. « Le equazioni di questa forma si possono, in generale, integrare 

 mediante serie ipergeometriche dell'ordine (n— 2)°. come si riconosce facil- 

 mente colla sostituzione 



n— m— 1 „ (n—m—1) , l A. 



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