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« Ma non è necessario di effettuare la trasformazione per determinare 

 le a e le b che entrano rispettivamente nel numeratore e nel denominatore 

 di ciascun termine della serie ipergeometrica fondamentale. Si trova infatti, 

 direttamente, che le a sono date dalla: 



(n — m)"" 1 D„_! (s + ai) (s + ct 2 ) .... (« + o«-i) = Do + 



h=n—2 



+ 2 ( n— m ) s ((n— fn)s— l) — ((fi— w)s— hj D h ri 



e le & dalla: 



(w — m)"~ 2 G„_i (5 H- 6, ) (s + & s ) . . . . (s + &„_ 2 ) = 



2 ((n— m)s+ n — m — 1 ) ( ( n — m) s+fi — m — 2 Y . . . ( (n—m)s-hn — m — h ) G/^i 



« Ora, per ciascun valore particolare di mi, si possono facilmente cal- 

 colare le G, e si può quindi assicurarsi se le b, ricavate dalla precedente equa- 

 zione, soddisfacciano alle due condizioni : che nessuna di esse sia un intero 

 negativo o nullo, e che nessuna delle: ò^H-l— òp., 2 — sia un intero nega- 

 tivo o nullo, soddisfatte le quali l'equazione differenziale ammette, per 

 mod^ < 1, l'integrale 



■n/ a \ » a t , ••• U/i-l i p \ 



\h, h,...b n _ t , V' 

 e gli altri n — 2 integrali dati dalla formola: 



nella quale: 



« Così p. e. si trova : 



m 



r 



&i , 6a , 





2 



3 

 4 



n — 4 

 w — 6 

 n—8 



1 2 



n — 3 n 



n—2 ' n—2 ' ' 

 1 2 



"w— 2'2(n— 2) 

 n — 4 n 2n — 3 



n— 3 ' n— 3 ' ' 

 1 2 



"w— 3'3(n— 3)'3(n— 3) 

 n — 5 n 2n — 4 3n — 8 





n — 4 ' n — 4 ' ' 



" n _4 ' 4(n— 4) ' 4(n— 4) ' 4(n— 4) 



II 



4. « Le equazioni trinomie del settimo grado si possono ridurre alle 

 tre forme che sono comprese nella («) per m— 1, m=2, ed m— 3, la prima 

 delle quali appartiene a quella classe d'equazioni trinomie che, nella Memo- 

 ria ora citata,, è stata risolta per serie ipergeometriche. 



(') Cf. la Memoria : Sopra una classe d'equazioni trinomie (Memorie della K. Acca- 

 demia dei Lincei, Voi. XIX). 



