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alle due equazioni simultanee: 



l>f _^_~ò9 sen© cosS + senj cos© sen0 



^ ~òu ~òv~ cosa 



^ ^9 costp sen 0-4- sena sen© cos0, 



1)V 1)U~ C0S(7 



poiché la condizione d'integrabilità è soddisfatta a causa della (&). D'altra 

 parte, per le (c) stesse, anche 9 soddisfa all'equazione (b), cioè: 



e definisce quindi una superficie pseudosferica S' di raggio = 1, della quale 

 il quadrato dell'elemento lineare assume la forma: 



ds n = cos 2 © du? + sen 2 © cfo 2 , 



le w = cost te , v — cost te essendo anche sopra S' le linee di curvatura. Data S, 

 per costruire la sua trasformata di Bàcklund S\ basta condurre per ogni 

 punto P di S e nel piano tangente un segmento costante PP'r=cos<7, incli- 

 nato sopra la linea u = cost te dell'angolo ©, che soddisfa le (b); il luogo 

 degli estremi P r è la superficie S'. 



« Per cr = 0 le (b) diventano le formole citate di Darboux e la trasfor- 

 mazione di Bàcklund si riduce alla trasformazione complementare. 



2. « Ciò posto, supponiamo dato un sistema triplo ortogonale di Wein- 

 garten, definito dalla forma (1) (Vedi Nota prec.) dell'elemento lineare dello 

 spazio, dove la funzione 9 di u,v,w soddisfa le equazioni (2) (ibid.) Se 

 sarà possibile determinare una funzione © di u, v, w, che, oltre alle (c), sod- 

 disfi anche all'altra: 



D© _ 1 | ~ò9 ^ cosccos© "a 2 g cosgsen© \ 



0, ciò che è lo stesso, all'equazione a differenziali totali: 



,„ , /~ò9 sen©cos0-4-sen<7Cos©sen0\ , 



(a) dqHri 1 — \du-\- 



r \l)v cosa / 



, f~òtì cos©sen0-4-senasen©cos0\ , 

 -4-1 — H : \dv-h 



\7)U COS (7 / 



1 /~ò9 , cosacos© iPQ , coscsen© D 2 0 \ 7 : „ 



_l 1 _r — — |_ . _l )dw=0, 



sen<7\Dw cosS ^v>l>w sen0 ~òvlw / 



essa soddisferà altresì alle equazioni (2) citate e definirà quindi un nuovo 

 sistema di Weingarten, che assunto a sistema di coordinate curvilinee dello 

 spazio darà al quadrato dell'elemento lineare la forma: 



ds 2 =cos 2 © dwM-sen 2 © dv^+Q^ ^* dw\ 



Ora, osservando che 6 soddisfa alle (2), si trova effettivamente che le tre 

 condizioni d'integrabilità delle (c),(c'), ossia della (d), sono soddisfatte e si 



