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nell'intervallo b — a così determinato sopra ciascuna, si segnino dei trat- 

 ticeli separati gli uni dagli altri, in numero finito, che può variare da, 

 retta a retta, e anche, senza divenir mai infinito, crescere però indefinita- 

 mente via via che le rette y = y s si fanno più prossime alla retta limite 

 y — y 0 . La somma dei tratticeli ò\ s , <^ t , segnati sulla y = y s sia d s . 



«Si vuol mostrare che se per ogni valore s — 1, 2, 3, ... si ha 

 sempre d s ^>_d, essendo d un numero determinato diverso da 

 zero, necessariamente esiste tra a e b almeno un punto oo 0 

 tale che la retta x=x 0 incontra un numero infinito di 

 tratti 9. 



2. « Pongasi primieramente che sopra tutte le rette, o almeno sopra 

 infinite di esse, y=y Sl , y = y Sì y = y S3 , .„• S!,% s 3 , ... essendo numeri del 

 gruppo 1,2,3,..., ci sia uno dei tratti § di lunghezza maggiore o eguale 

 a un numero determinato g diverso da zero. Del tratto $ maggiore o eguale, 

 a g esistente sulla retta y = y s si prenda una porzione eguale a g : negli 

 estremi di essa si elevino le perpendicolari. Entro la striscia di piano da esse 

 racchiusa, o cadono sempre, per quanto si proceda innanzi nella serie delle rette 

 y=y Sl ,y Sì ,y Sì vi interamente o in parte, sia pure, piccolissima quei tratti 5 > g, 

 i quali esistono su tali rette, ovvero si perviene a trovare una di esse y = y Sp 

 tale che i tratti ò>g esistenti sopra le rette seguenti y= y Sp _ l _ n y Sp _ t . ìì 

 cadono completamente al di fuori della striscia considerata. 



« Nel primo caso poiché, i tratti che si considerano, sono tutti mag- 

 giori o eguali a g, ampiezza della striscia, comunque siano essi disposti, si 

 vede manifestamente che una almeno delle due perpendicolari che limitano 

 lateralmente la striscia, incontrerà un numero infinito di tali tratti. — Nel 

 secondo caso, muovendo dalla retta y — y t ^ si operi, come dianzi s'è fatto, 

 colla y~y Sl : cioè, negli estremi di una porzione g del tratto S > g, che 

 esiste sulla y — y s ^ si elevino le perpendicolari; sulla striscia così deter- 

 minata si può ragionare come, su quella di prima: se nessuna delle due 

 perpendicolari che la limitano, incontra infiniti tratti 5, ci sarà una retta 

 y = y s ^ tale che i tratti ò>g esistenti sulle rette seguenti y = y» r Vs^^ ••• 

 cadranno interamente al di fuori delle due striscie, ciascuna di ampiezza g, 

 sin qui considerate. 



« Poiché sarà 



mg<.b — a < (w + 1) g, 



m intero, si vede che se, nella costruzione successiva delle striscie, come 

 quelle sopra descritte, non si trovasse una delle perpendicolari che le limi- 

 tano, la quale incontri infiniti tratti à>g, si perverrebbe, dopo aver co- 

 struite al più m striscie, a trovare una retta y = y h tale che sulle seguenti 

 y = y S( _ l . n y h _ t , tì i tratti § maggiori o eguali a g non potrebbero esistere: 

 il che è contro l'ipotesi. 



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