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3. « Pongasi ora che il tratto À s massimo tra quelli segnati sulla retta 

 y = y s , tenda a zero, col crescere indefinito di 5. 



« Si proiettino sull' asse x tutti i tratti d segnati su tutte le rette 

 y = y h i/2, ?/ 3 , ... ; tutte queste proiezioni occuperanno l'intero intervallo b — a, 

 ovvero, alcune porzioni determinate di esso. Tra queste porzioni vi sarà cer- 

 tamente la massima eguale almeno al massimo dei tratti § segnati sulle rette 

 y = y s ; questa massima porzione sia Pj,,. 



« Parimente si proiettino sull'asse x tutti i tratti § segnati su tutte 

 le rette y = yi, y%, la porzione massima dell'asse x, coperta da tali 

 proiezioni, sia Py s . Così si continui. Sarà evidentemente 



P»i>P»,>P»,^ 



«Questi tratti P yi , P^, Py 3 , ... hanno dunque un limite determinato. 

 « Or qui si distinguono due casi: che questo limite g sia diverso da 

 zero, 0 sia eguale a zero. 



« Sia g diverso da zero : 



«Si consideri il gruppo di rette y — y\,y%yz,...y s e si proiettino tutti 

 i tratti segnati su tutte queste rette sull'asse x. La massima porzione di 

 esso coperta da tali proiezioni sia Af^yj: manifestamente sarà A^yj al- 

 meno eguale al massimo dei tratti segnati sulle rette y = y\ y 2 , y 3 , ... y„, e 

 crescerà, o almeno non decrescerà, al crescere di s : sarà però sempre minore 

 0 al più eguale a Py 4 e appunto sarà 



lim A (2/l! / 4 ) = Pj/ 1 . 



s=<x> 



Per conseguenza si troverà una retta y=y Sl tale che sarà 



A(j/ 1 y Sl ) > 9i 



<7i essendo un numero determinato, minore di g per una quantità s piccola 

 a piacere. 



«Si consideri ora il gruppo di' rette y=y Hn - h y Sl ^, .... y Sì e si proiet- 

 tino tutti- i tratti segnati su di esse sull'asse x ; sia A(y t y> j la massima 

 porzione di questo, coperta da tali proiezioni. Aj» ti+1 -y f i crescerà, 0 almeno 

 non decrescerà, al crescere di s 2 e avrà per limite Py s ^ al tendere di y Sì 

 verso «/o; perciò si troverà una retta y=y s% tale che sarà: 



« Si vede che, continuando così, si possono costruire quanti gruppi si vo- 

 gliono y=y t , y%, ... y Sl ; y=y Sl ^u Vs^% , •••• y Sì , ciascuno di un numero finito di 

 rette, tali che la massima porzione dell'asse x coperta dalle proiezioni dei 

 tratti d esistenti sulle rette di ciascuno di essi, sia maggiore di g e . 



« Or si può qui ripetere un ragionamento perfettamente analogo a 

 quello fatto nel caso già esaminato,, sostituendo alla considerazione delle 

 rette sulle quali esiste almeno un tratto S maggiore 0 eguale a g, la con- 

 siderazione dei gruppi di rette ora costruiti, ciascuno dei quali ha sull'asse x r 



