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costruiscono prendendo a basi dei tratti 9, la quale contenga entro di sè, 

 sopra infinite rette, sempre una determinata somma di tratti d, avendosi 



(p — 1) d < b — a < pd , 

 p intero, si perverrà necessariamente a trovare una retta y = y Sp tale che 

 sulle rette seguenti, dentro porzioni dell'intervallo b — a, la cui somma è 



a) b — a — di — c? Si -h + 0 Si -h£ — ^i + ^-h 2 -' — 4 p _)^i+^ p _i-*-i£< 



< b — a — pd~h(p — l)s 

 cadranno dei tratti d la cui somma è d t +\ — Q tp ->-\ s , d s ^ — 9, ^ s rispet- 

 tivamente. Ma se è stato preso s minore della minore delle due quantità — ~ 



p — 1 



e ^ {b—-a) gar ^ a n ora . 

 p— 1 



b — a — pd-{-(p — l)s < b — a — (p — l)d, 

 e d — s>& — a — (p — l)d. 



Dei tratti d, la cui somma è maggiore o eguale a d — e dovrebbero dunque 

 giacere, separati l'uno dall'altro, dentro porzioni dell'intervallo b — a, mi- 

 nori in somma di d — e: e ciò è assurdo. 



« Per conseguenza, nel seguito dell'operazione che dianzi abbiamo de- 

 scritta, o si deve trovare una perpendicolare che incontra infiniti tratti d, 

 ovvero una striscia avente a base un tratto S, e limitata lateralmente dalle 

 perpendicolari agli estremi di questo, dentro la quale, sopra infinite rette, 

 giace sempre una somma di tratti d maggiore o eguale a un determinato 

 numero d'. 



« Si ragioni su questa striscia, come si è ragionato sull'intero inter- 

 vallo b — a: o si troverà, dentro questa striscia una perpendicolare alle 

 rette che si considerano, la quale incontra infiniti tratti d, o se no, una 

 striscia, avente a base un tratto ò\ dentro la quale, sopra infinite rette, vi 

 è sempre una somma di tratti ò\ maggiore o eguale a un determinato nu- 

 mero d" diverso da zero. Così procedendo, se non si trova mai una delle 

 perpendicolari che si conducono negli estremi dei tratti 5, la quale incontri 

 infiniti di questi, si costruiranno però quante striscie si vogliono, interne 

 le une alle altre e aventi ciascuna a base uno dei tratti 5. Se xi, x^ a? 3 , ... 

 sono gli estremi inferiori di queste basi: x'^x'^ x\ ... gli estremi superiori, 

 si avrà 



Xx < #2 < X Z < .... 



e x'ì>x\>ìx'z>: .... 



e poiché siamo nel caso che i tratti S, coll'avvicinarsi di y s a y Q , tendono a 

 zero, così le differenze x\ — X\, x\ — x%, ... tenderanno pure a zero. Se si 

 segnano dunque i punti x h x%, x% ... e xl\x\x\... sull'asse x, vi sarà per 

 essi un punto limite x 0 ; la retta x = x 0 sarà la retta domandata, poiché 

 essa incontra certamente tutti i tratti S, che sono le basi delle striscie ora 

 menzionate. .. ... , , ,', 



