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senso ordinario, rappresenta rispettivamente in varie regioni del piano, varie 

 funzioni (o rami di funzioni) arbitrariamente prefissate. Il sig. Hermite , 

 nella sua lettera al sig. Mittag-Leffler, pubblicata (') sotto il titolo Sur 

 queiques points de la théorie des fonctions costruisce una nuova espres- 

 sione colle stesse proprietà, ma in forma di integrale definito; e le re- 

 gioni del piano sono separate da rette parallele all' asse immaginario. 



« Un' espressione analoga si può ottenere come applicazione immediata 

 del teorema di Cauchy, sostituendo alle striscie parallele all' asse immagi- 

 nario, corone circolari col centro nell' origine. Siano dati infatti nel piano 

 della variabile complessa z dei cerchi col centro nell' origine e con raggi 

 crescenti rj, r 2 , .... r n ; "e si voglia costruire un'espressione che entro il 

 cerchio r h , abbia un valore C 0 , nella corona fra r h ed , il valore C A , 

 e fuori di r n il valore C„ , essendo C 0 , Ci, .. m G n costanti date arbitraria- 

 mente. Si prenda un punto a h sulla circonferenza r h , e si consideri l' inte- 

 grale esteso ad una circonferenza di centro 0 e di raggio p : 



1 1 / C 0 | Ci — C 0 | G n — C,_i \ . „ 



« Se è 



I a h | < p < [ o^i | , 

 si avrà per il teorema di Cauchy : 



I(p) = C A , 



onde la I (p), riguardata come funzione' della variabile reale p, gode della 

 proprietà richiesta. Ma si può facilmente sostituire a questa una funzióne 

 della variabile complessa z, ponendo z=pe tQ ; e non si muta il valore 

 dell' integrale scrivendo : 



i w = ì (7% + %=2l + .... +5£^=i) ,m , 



1 \ze™ * — »i ze w — a n / 



e questa è V espressione domandata. 



« Sarà facile ora sostituire a quest' espressione un' altra che nelle varie 

 regioni abbia valori non più costanti, ma funzioni assegnate di z, come 

 pure con trasformazione di variabile sostituire alle corone circolari altri 

 campi di diversa natura ». 



(') Acia Societalis Scientiarum Fennicae, t. XII, e Giornale di Creile, t. XCI, 1881. 



