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Matematica. — Intorno alla generazione dei gruppi di ope- 

 razioni. Nota del dott. GL Frattini, presentata dal Socio Battaglini. 



« Dato un gruppo G di sostituzioni e in generale di operazioni in nu- 

 mero finito, diremo, come è naturale, che un sistema (g) di sostituzioni di 

 G è un .sistema di sostituzioni generatrici fra loro indipendenti, allorché ogni 

 sostituzione di G o sia in (g) o si possa ottenere come prodotto di sostituzioni 

 contenute in (g), e qualsivoglia sostituzione di (g) non si possa ottenere come 

 prodotto di sostituzioni scelte fra le rimanenti del sistema. Mancando questa 

 seconda condizione diremo che il sistema è semplicemente un sistema di gene- 

 ratrici. Immaginando ora di avere formato e di avere sott'occhio tutti i possibili 

 sistemi (g)' , (o)". ... di generatrici fra loro indipendenti, dovrà qualche 

 sostituzione di G (almeno l'unità) mancare iu tutti i sistemi. 



. « Se il gruppo G fosse ad es. quello delle potenze della sostituzione: 

 S — (a , b , c , ti) , le potenze di grado pari di questa, non potrebbero far 

 parte di alcun sistema di generatrici di G fra loro indipendenti, perchè, come 

 facilmente si vede, alla generazione di G dovrebbe pur concorrere una potenza 

 di grado' dispari della S dalla quale quelle di grado pari sarebbero generate. 



«E così: Le sostituzioni di un gruppo qualsivoglia si 

 possono distinguere in due classi: nella classe cioè di quelle 

 che possono efficacemente concorrere alla generazione del 

 gruppo potendo esse far parte di un sistema generatore 

 senza che siano generate dalle rimanenti del sistema, e 

 nella classe di quelle le quali non possono efficacemente 

 concorrere alla generazione sopra detta. 



« Oggetto di questa Nota è quello di porre in rilievo che : 



1. «Le sostituzioni del gruppo le quali non possono 

 efficacemente concorrere alla sua generazione, ne costi- 

 tuiscono un sottogruppo eccezionale (il sottogruppo 0). 



2. «Il gruppo 0 coincide col gruppo di quelle sostitu- 

 zioni le quali sono moduli rispetto ai sistemi generatori 

 del gruppo fondamentale, sono cioè tali, che qualunque 

 sistema generatore si trasformi in un nuovo sistema gene- 

 ratore quando le sostituzioni del primo sistema si consi- 

 derino astrazion fatta da fattori uguali a quei moduli. 



3. «Il gruppo $ coincide ancora col gruppo comune ai 

 sottogruppi massimi (') del gruppo fondamentale. 



4. «Affinchè il gruppo fondamentale possa essere ge- 

 nerato da un certo suo sottogruppo combinato con. taluno 



(') Massimo diremo un sottogruppo di G allorquando non esisterà in G altro sotto- 

 gruppo che lo contenga. 



