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degli altri, è necessario e sufficiente che il primo sotto- 

 gruppo non sia esclusivamente formato con sostituzioni 

 di $. 



« E finalmente : 

 5. «Il gruppo $ è un gruppo fì 0 di Capelli ('). 



« Che le sostituzioni g di G le quali non possono efficacemente con- 

 correre alla generazione dell'istesso G- costituiscano un gruppo, si può di- 

 mostrare nel seguente modo: Supponiamo che g( x \ g'p) non possano far parte 

 di alcun sistema di generatrici fra loro indipendenti. Neppure potrà farne 

 parte il prodotto g' a K gW. Chè, se fosse altrimenti, surrogando nel sistema (#)('") 

 di generatrici fra loro indipendenti il prodotto gW. g ( $ ] con i suoi fattori, 

 si avrebbe ancora nel sistema così modificato un nuovo sistema generatore. 

 E riducendo comunque questo nuovo sistema a tale che fosse composto di sole 

 generatrici fra loro indipendenti col sopprimere talune sostituzioni superflue, 

 le sostituzioni gp dovrebbero sparire necessariamente. Ma si perver- 

 rebbe così ad un sistema generatore composto di sostituzioni contenute in 

 e privo del prodotto gW. g { V il quale per ciò sarebbe superfluo in (g) { '°K 



« Trasformando ora le sostituzioni di un sistema (g) con qualsivoglia 

 sostituzione di Gr , si otterrà certamente un nuovo sistema (g) . Infatti 

 se le sostituzioni del primo sistema generano G, le sostituzioni del sistema 

 trasformato genereranno il gruppo G trasformato mediante gW ossia G me- 

 desimo. E nessuna delle trasformate sarà superflua nel secondo dei due 

 sistemi. Infatti, se ciò fosse, superflua sarebbe altresì la sostituzione cor- 

 rispondente nel primo dei due sistemi nel quale il secondo si trasforma 

 mediante la inversa di gW. Da ciò segue che se una g esiste in taluno o 

 manca in tutti i sistemi (<?), tutte le trasformate di g soggiaceranno alla 

 identica condizione. Il gruppo delle sostituzioni le quali non possono effi- 

 cacemente concorrere alla generazione di G conterrà adunque tutte le tra- 

 sformate di qualsivoglia sua sostituzione con sostituzioni di G , e sarà per 

 ciò eccezionale in G. 



« Ed ora, sia K un sottogruppo di G non contenuto per intiero in <&, 

 e sia (g)< w ) uno di quelli fra i sistemi (g) che presentano sostituzioni comuni 



( 1 ) Gruppi n 0 di Capelli dico quei gruppi i quali essendo di ordine: p* . q? J . ri . . . 

 non contengono che un solo gruppo degli ordini: p K , q$ , ri , . . . rispettivamente, avendo 

 il Capelli nella sua Memoria: Sopra la composizione dui gruppi di sostituzioni (R. Acca- 

 demia dei Lincei, voi. XIX) dimostrato varie proprietà relative a questi gruppi, e fra le 

 altre le due seguenti: I fattori di composizione dei gruppi fi 0 sono numeri primi: Ogni 

 sottogruppo di un gruppo a o è anch'esso un gruppo D. 0 . Combinando questa seconda pro- 

 prietà con la nostra proposizione 4 a , si concluderà facilmente che: Quando non sia 

 possibile generare il gruppo fondamentale combinando un certo suo 

 sottogruppo con taluno degli altri, il primo sottogruppo apparterrà 

 alla specie dei gruppi ft 0 di Capelli. 



