— 283 — 



con K . Soppresse in (g)^ le sostituzioni che esso ha comuni con K , le 

 restanti genereranno un gruppo K' minore di G," perchè se esse generas- 

 sero l'intiero G, le sostituzioni soppresse sarebbero state superflue in (gY"^. 

 Ciò posto, il gruppo K e il gruppo K7 genereranno evidentemente l'intiero G 

 perchè G era generato dalle sostituzioni di (#) (tu >. Esiste adunque un gruppo K' 

 di G che con K genera G. 



« Ma ciò non accadrebbe se K fosse per intero contenuto in 0 . Chè 

 se il gruppo K con un gruppo K7 minore di G generasse quest'ultimo 

 gruppo, qualche sostituzione di K potrebbe efficacemente concorrere alla 

 generazione di G, e ciò è contrario alla natura delle sostituzioni di <P le 

 quali comporrebbero K. 



« Esiste il seguente teorema: Un sottogruppo r eccezionale in G può 

 sempre efficacemente concorrere alla generazione di G allorquando esistano 

 in E almeno due gruppi distinti fra quelli che hanno per ordine la mas- 

 sima potenza di taluno dei fattori primi che compongono l'ordine di r. 



« Prima di dimostrare questo teorema, avvertirò che esso è nella sua 

 sostanza dovuto al Capelli il quale dimostra (') che esistono nella sopra 

 detta ipotesi sottogruppi di G i .quali partecipano con le loro sostituzioni 

 a tutti i periodi di r. Per dimostrare la coincidenza delle due proposizioni 

 osserveremo infatti che, se T è eccezionale in G, ogni sottogruppo L di G 

 è permutabile con I 1 ( 2 ), così che riunendo insieme i periodi d T aventi 

 sostituzioni comuni con i singoli periodi di L, avrà luogo una nuova distri- 

 buzione delle sostituzioni di G in periodi e precisamente la distribuzione 

 relativa al gruppo generato da T e da L come nella mia Memoria: Intorno 

 ad alcune proposizioni della teoria delle sostituzioni ( 3 ), ho dimostrato. E da 

 ciò apparisce evidentemente che: condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 esistano sottogruppi L di G che partecipino con le loro sostituzioni a tutti 

 i periodi di T è, che T con qualche sottogruppo di G e minore di G generi 

 G che cioè r concorra efficacemente alla generazione di G con qualche sistema 

 di sostituzioni estranee a T. 



« Ciò premesso, veniamo alla dimostrazione dell'enunciato teorema. Sia P 

 uno dei sottogruppi d'ordine p' x (oc massimo) contenuti in T, ed S una so- 

 stituzione di G. Dicasi P' il gruppo d' ordine p* (contenuto in T) nel quale S 

 trasforma P. 



« Sappiamo esistere in T sostituzioni le quali trasformano P in P'. 

 Sia 7 una di queste. La sostituzione S-y - 1 = cr apparterrà al gruppo delle 

 sostituzioni di G le quali trasformano P in se medesimo, e si avrà: 8 = <jy, 



« Essendo la S una qualsivoglia sostituzione di G , si conclude che, il 



(!) 1. c. 



( 3 ) Ha luogo cioè, quali si sieno a e (?, una relazione della forma: /« . = yo' ■ l^' ■ 

 ( 3 ) Mem. della E. Accademia dei Lincei, Voi. XVIII, 1883-84. 



