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gruppo r e quello delle sostituzioni che trasformano P in se medesimo 

 generano G . Ora il gruppo V concorre efficacemente a questa gtnsrazione 

 purché le sostituzioni di G le quali trasformano P in se medesimo non 

 formino l'intiero G . Ma in questo caso P' coinciderebbe con P e non esi- 

 sterebbero in T due gruppi distinti d'ordine p" A . 



« Ed ora, poiché il gruppo $ eccezionale in G non può, stante la sua 

 definizione, efficacemente concorrere alla generazione di G , non esisteranno 

 in <I> due gruppi distinti degli ordini p a , q$ , . . . rispettivamente. Il gruppo 

 <I> sarà perciò un gruppo Ù 0 . 



« Il gruppo $ è poi composto di quelle sostituzioni le quali sono 

 moduli rispetto alla generazione di G. Sia infatti: P^ Q<p 2 E^ 3 ... una 

 sostituzione di un sistema generatore considerata come prodotto nel 

 quale i fattori ^ , <p 2 , ^3,... indicano sostituzioni di $. Siccome è: 

 p ( p l = ( ^' 1 P, PQ? 2 — o/ 2 PQ , . ; ~. per essere $ eccezionale in G, avremo: 



P?i Q? 2 Rys = ('/i'A ©'3 • • •) (PQR .'..) = ^PQR • • • 



« Avverrà così che, mentre sostituendo nel sistema generatore la 9 e 

 il prodotto PQE... in luogo della sostituzione considerata, si otterrà evi- 

 dentemente un nuovo sistema generatore, sopprimendo la <p che è super- 

 flua, si riuscirà ad introdurre la PQE ... in luogo della primitiva sostitu- 

 zione, come precisamente sarebbe avvenuto facendo in quella: s?i = 92=03.... 

 = 1 . Viceversa se la sostituzione g' h ) è un modulo, essa esisterà in 0 ne- 

 cessariamente. Infatti la g' h ' non potrebbe far parte di alcun sistema di gene- 

 ratrici fra loro indipendenti, chè altrimenti si potrebbe far quivi g('0 = 1 

 e sopprimere la g( h ) come superflua. 



« Così, se il gruppo G fosse il gruppo ciclico delle potenze di una so- 

 stituzione S d'ordine m , le potenze : S" 1 » , S Pa . . . quando p { , p 2 . . . si in- 

 tendano primi con m, rappresenteranno sistemi generatori del gruppo, anzi 

 i soli sistemi di un'unica generatrice. Se adunque S 3 apparterrà al gruppo 

 le sostituzioni S 3+? \ S 3 . . . riprodurranno la soprascritta serie di po- 

 tenze. La serie dei numeri primi con m e inferiori ad m rientrerà adunque 

 in se stessa (mod. m) per l'aggiunta della a a tutti i suoi elementi. Vice- 

 versa, se ciò avvenga, S 3 apparterrà al gruppo 0 . Infatti se S", . • • S a po- 

 tesse essere un sistema di generatrici indipendenti, il prodotto S S a ' a 

 per convenienti valori di u, . . . a' si ridurrebbe alla S affetta da esponente 

 ■u'u 4- . . -f- a' a primo con m, e primo con m sarebbe perciò u'u-\-. . . Baste- 

 rebbero adunque le S". . . a generare il gruppo. 



« Ciò posto, sia: m= p a -gf J - r 1 • •• La serie dei numeri primi con m ed 

 inferiori ad m rientra evidentemente in se stessa per a multiplo del prodotto 

 p . q . r . . . e non rientra in se stessa se non in questo caso. Se infatti a non 

 sarà divisibile per qualcuno dei fattori primi di m ad es. per p, la serie co + a, 

 co 4- 2a . . . nella quale o rappresenti un numero primo con m , conterrà qual- 

 che termine divisibile per p per essere a primo con p, e perciò la serie 



