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« Si indichi con D il determinante funzionale delle p, q, t, u, ossia : 



\ dx dy dz d w / 

 e si moltiplichi questo determinante, che sarà una funzione omogenea delle 

 <r, y, z, io del grado 4 (k — 1), per ciascuno dei determinanti l, m, n, s. 

 Ponendo : 



^ du\ dui du\ dui 



dvi dvì dv% dv\ 

 si ottengono le quattro relazioni : 



t-w , . tt / s d p , d ci dt du\ 



\ dx dx dx dx / 



-r- . rr / . d p , dq dt , du \ 



\ dy dy dy dy J 



_. , TT /. - d<7 d£ du\ 



ydz'ctz az dz/ 



t-> , tt/\ dp dq dt dn\ 



\ a io dio dw dw / 



alle quali devono soddisfare le funzioni p, q, t, u. Evidentemente in ciascuna 

 di queste equazioni, tanto i primi che i secondi membri, sono funzioni omo- 

 genee in x, y, z, io del grado 4 k — 1 ; ma ricavando da esse le X, ju, v, a 

 si giunge infine alle relazioni di grado 3 k seguenti : 



(4) 



kUl-l(± i*l-«L*!L) = o 

 \ dy dz dw / 



y ( -+- d ^ d ^ du\ q 



[j. _ ^ ^ ^ dz dw / 



ftt «,'/ dp dq du\ 

 \ dx dy dw J 



\ dx dy dz J 



k Uff — 21 



3.° « Posto 



p = ~F(x,y,z, w) 

 risulta facilmente da queste relazioni dover essere: 



q — F (y ,x,w,z) , t = ¥ (z ,w,x,y) , «= -f {w ,z,y ,x) 

 si avranno cioè per la trasformazione del 3° ordine: 



p = g x? + x (A y t +Bz 2 4- C w % ) -f- D y z io 

 q=gy > -hy (A x 1 -h~Bio"- + C z*)-{-T>xivz 

 t =-gz* -\-z (At^ + B^+C y*)~+-Diuxy 

 u = giv*-i-w{AzZ -hBy^+Gx^-hDzyx 

 A, B, C, D, g essendo i cinque coefficienti indeterminati. Sostituendo questi 

 valori di q, t, u nelle equazioni (3) si otterranno i valori delle X, ,u, v, a 

 espressi in funzione di cr, y, z, w ; e quindi da una qualsivoglia delle (4) 



