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Matematica. — Sulla integrabilità di una serie di funzioni. 

 Nota del prof. C. Arzelà, presentata dal Socio Dini. 



1. « Sia f (x, y) una funzione delle due variabili reali x e y definita nel- 

 l'intervallo b — a sopra ogni retta y—y\ ,y = y% , ■— : ìl\ , y% , V% > •— es- 

 sendo un gruppo di numeri che hanno per numero-limite il numero yo . Sia 

 f(x, y s ), per ogni valore y s {s — \, 2, 3, ....), finita e atta all'integrazione 

 definita tra a e b, e in ogni punto x tra « e i sia determinato e finito 



f{or,y*) = lini f(<r,y s ). 



y*=y 0 



« Vogliamo qui ricercare la condizione necessaria e sufficiente, perchè 

 la f (x, yo) sia atta all'integrazione tra a e b. 



« Pongasi primieramente che ciò sia. Siano segnati nell'intervallo b — a 

 dell'asse x un numero finito di tratticeli x\ , t 2 , ... r r di somma piccola a 

 piacere, i quali contengano tutti i punti nei quali la f {oc, xjo) fa un salto (') 



maggiore o eguale a ^- : a essendo un numero positivo piccolo ad arbitrio. 



Esisterà un numero determinato e maggiore di zero do, tale che, per ogni 

 punto x preso in una delle porzioni rimanenti, sia: 



a 



se è | S | < §o e se il punto x-\- d cade dentro la porzione, in cui è preso 

 il punto x 



« Parimente, considerata una retta y = y, ì si segnino su di essa i tratti 

 Ti .('*) , Ta W , .... t 5 (s ) di somma piccola a piacere, che contengono i punti, nei 



quali la f (oc, y s ) fa salti maggiori o eguali a ~ . Esisterà un numero d s 



determinato e maggiore di zero, tale che, per ogni punto x preso in una 

 delle porzioni rimanenti si abbia : 



a 



f(oc~hò,y s )-f(x,y s ) 



<4' 



per ogni | d | < d s e sinché il punto x -f- d cade nella porzione, in cui è 

 preso il punto x. 



«Per conseguenza, tolti dall'intervallo b — a i tratti ti (0 >, t 2 (0) ,... t, (0) e 

 gli altri t ! < s) , t. 2 ( s \ .... tjW, in numero totale finito e di somma piccola a 

 piacere, esisterà un numero do,?, il minore dei due do e d s , tale che per 

 ogni punto x preso in una delle porzioni che rimangono, e per ogni 

 I 8 | <C S 0 5 s , siano verificate le due disuguaglianze 



a 



f (x + S, yo) — f {x,ijo) 



<4' 



(') Vedi Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni etc. pag. 41 e 42. 

 ( 3 ) Vedi Dini, 1. c. pag. 245. 



