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f{x + 5, y s ) — f(x, y s ) < ~ , 



dimodoché se in questo punto x sarà 



«) 



si avrà un tratto determinato da x — So, s , a £c— f— do ? s ? o almeno da a; a 

 .r + 5o, s , o da «a a? — 5o, s > quando x fosse un estremo di una delle porzioni 

 summenzionate, tale che per ogni punto x preso in questo tratto, sarà: 



/3) 



« Sopra ogni retta y — y s potranno dunque esistere dei tratti determi- 

 nati, in ogni punto x dei quali è verificata la (5) ; e il numero di essi potrà 

 evidentemente variare con y s , tenuto fisso il a, e anche crescere indefinita- 

 mente al tendere di y s a y 0 . 



« Se si osserva che i punti x nei quali è verificata la (a), e le due 



f (ce, 2/o)j /" ijs) fanno salti minori di ~ , cadono certamente dentro i tratti 



ora detti, in ogni punto dei quali sassiste la ((3), e che, oltre a questi, altri punti 

 x nei quali sia verificata la (a) possono solo esistere dentro i tratticelli t dianzi 

 esclusi: se si riflette che questi tratti x possono, per ogni y s , farsi pic- 

 coli in somma a piacere, e che ai tratti, in ogni punto dei quali sussiste 

 la (/3), è applicabile la prop. 2 della mia Nota: Un teorema intorno alle 

 serie di funzioni, pubblicata nel fascicolo precedente di questi Kendiconti, 

 si vede che, assegnato un numero positivo s piccolo a piacere, si potrà 

 sempre trovare un valore y s tale che sopra ogni retta seguente y = y s ^ x , 

 f/j-,-2, •••• la somma dei tratti nei quali cadono i punti x, in cui è 

 | f {oc, yo) — f {oc, y s ) | > <j . 



risulta minore di e. 



« Ciò stabilito, indichi y s uno qualunque dei numeri 1/1,2/2, y%,....: 

 si consideri il gruppo dei punti x, nei quali, per ogni valore y s ^, y^ ... 



la f (x, y s ), 0 fa un salto maggiore 0 eguale a ~ , ovvero, se ciò non è, 



si ba \f{x, y 0 ) — f{x,y s ^\ > a. Se per ogni punto x del gruppo 

 si immagina elevata una perpendicolare alla y = y 0 , 0 all' asse x, il che 

 torna egualmente, i punti di intersezione di tutte queste perpendicolari 

 colle rette y — y srX , y,^, .... saranno dunque punti in cui f(x,y s ^ p ) 0 



fa un salto maggiore 0 eguale a , 0 se ne fa uno minore si ha 



Ci) | f (X, y„) — f fa t/rt-p) I > C7. 



« Ora i punti x, in cui la f (x-, y s ^- v ) , per un y,+. p qualunque fisso, 

 fa salti maggiori 0 eguali a , essendo essa integrabile per ipolesi, for- 



