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mano un gruppo discreto ('), e se y^ p è abbastanza prossimo a yo , il 

 gruppo dei punti x, nei quali è soddisfatta la («), è pure, come si è veduto, 

 rinchiudibile entro un numero finito di tratti di somma piccola a piacere : 

 per conseguenza, preso un g piccolo a piacere, vi è certamente una retta 

 y — y s ^. v tale che il gruppo dei punti di incontro di essa con le perpen- 

 dicolari dianzi menzionate, è rinchiudibile entro un numero finito di tratti 

 di somma minore di s ; ma se ciò accade per una retta y = y^. p , avviene 

 pure evidentemente per tutte le altre. E dunque discreto il gruppo dei 

 punti x nei quali abbiamo immaginato elevate le perpendicolari. 



« Si ha così: il gruppo dei punti x, nei quali per ogni 

 -valore y s ^-\ , y s ^i, ... la f(x,y s ^ v ) fa un salto maggiore o eguale 



a -j-, ovvero, se ne fa uno minore, è \ f (or, y 0 ) — f (%, ys+p) | > o, 



è discreto; essendo a un numero positivo preso piccolo a 

 piacere, e y, un numero scelto ad arbitrio tra i numeri y\,yì,y^-. 



« Fissato dunque a piacere il numero a e il valore y s , si rinchiudano 

 mediante un numero finito di tratticeli di somma piccola a piacere i punti 



in cui la f (x, y 0 ) fa salti maggiori o eguali a , e i punti di cui si tratta 



nella prop. precedente Rimarrà un numero finito di porzioni a\b\, a 2 b^,...a n b n . 

 Sia x un punto preso in una di esse. Tra y s e y 0 esisterà certamente uno 

 o più valori y s ^ p , per ciascuno dei quali è 



I f Ufi) — f {oc, y S T P ) | < a 



e insieme, f(x, y 3i - p ) fa un salto minore di ~ . 



« Per ciascuno di siffatti valori y esisterà perciò un intorno assegnabile 

 del punto x, da x — òy s ^ p a oc-+-ày (che potrà ridursi all' altro (x, x-hSy^), 

 ovvero (x — , x) quando ih punto x sia un estremo della porzione che 

 si considera), tale che in ogni punto x di esso sia: 

 I f ipc, y 0 ) — f (x, y^ p ) |< 2or . 



« Questo intorno, o più precisamente l'ampiezza di esso, può riguardarsi, 

 per un dato punto x, come una funzione di y che fra y s e y n può essere 

 zero per alcuni valori, ma, come ora si è detto, non lo è sicuramente per 

 tutti : dimodoché questa funzione di y ha un limite superiore L (x) che, esi- 

 stendo determinato per ogni punto x dentro le porzioni ai bi, a> & 2 , ....»„&,„ 

 potrà ivi riguardarsi come una funzione di x. L (x) ammette un limite infe- 

 riore l che si dimostra non potere essere lo zero. Vi sarà infatti almeno un punto 

 x', in una delle porzioni, in ogni intorno del quale il limite inferiore di L (x) 



(') Harnack ha introdotto questa denominazione per significare un gruppo richiudi- 

 bile entro un numero finito di tratti di somma piccola a piacere. Mathematische Annalen 

 XIX Band. 



Rendiconti — Vol. I. 



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