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è l ; ma anche per un tal punto x', per qualche valore y s + v esiste un in- 

 torno fa — /, oo'-hòn^/) diverso da zero, tale che per ogni punto in 

 esso sia | f(oc, t/ 0 ) — ffa y s +/j | < 2a , e allora, se sulla retta y—y s + 0 si 

 a/ — !£p. — v jii \ s j vede che, per ogni punto x" 



di esso, l'intorno ^x" — ^I^l sg " ^ Vs ^p ^ e tale che in ogni punto x di 

 questo si ha: 



I f fatti) — ffa y s v) |<2<7, 

 il che mostra che deve essere certamente l > — . 



a 



« Pel punto x — ai , esisterà dunque una retta y=y s ^. Pi tale che in 

 ogni punto x del tratto da ad oi+8 0l , preso su di essa, sia: 



IfK yo) — ffa tts- Pl ) l<2<7, 



e sarà: d ai >Z. 



« Pel punto a? = ai -f- 5 a , = a'i parimente esisterà una retta y=y s ^ p ' 1 

 tale che in ogni punto x del tratto da a\ ad a'H-5/ t su di essa, sia: 

 |/"(^. Ut)— ffa, Wi)K2ff, 



e sarà pure > £ . 



« Si vede, che, così continuando, mediante un numero finito di questi 

 tratti, tutti di ampiezza maggiore o eguale a l, si percorrerebbe la porzione 

 «i b\ : indi in modo simile la porzione a% b% , etc. etc. , . . . . I numeri 

 t/si-n Vs+v\i •••• t/s^v*'— cùe occorre così di considerare sono in numero finito 

 e tra essi ve ne è uno massimo. 



« Si ha così una linea spezzata a lati di lunghezza maggiore o eguale 

 a l, tale in ogni punto x in una delle porzioni a\b\, a%b%... a n b n si ha: 



\ffa yo) — ffay l{x) ) |<2cr, 

 fayu .) indicando un punto sulla spezzata. 



\X) 



2. » La condizione che abbiamo qui trovato come necessaria per l'in- 

 tegrabilità della f(x, yo), vogliamo ora dimostrare che, nelle ipotesi da noi 

 poste, è anche sufficiente. 



« Osserviamo anzitutto, che se si considera una linea spezzata, com- 

 posta di un numero finito di tratti presi ciascuno sopra una delle rette 

 y — y lì y ìì y^, .... e così che a ogni punto a? tra a e & corrisponda un solo 

 punto sulla spezzata, i valori che la f(x, y) ha nei punti di una tal linea costi- 

 tuiscono una funzione, che indicheremo con f(x, yi( X )), atta all'integrazione fra 

 a e b; cioè, esiste determinato e finito l' integrale curvilineo I ffa y, (r) ) dx 



.'a 



preso lungo la spezzata. 



« Ciò è manifesto, quando si pensi che ciascun lato della spezzata 

 giace sopra una delle rette y—Vi, lungo la quale la ffay) è, per dato, 

 atta alla integrazione, e che in un punto di distacco di un lato dell' altro, 

 giacente l' uno sulla y=y ti , l'altro sulla y=y ì2 , sia che ivi si prenda per 



