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valore della f(x,yi{ T )) quello della f(x, y bi ), sia che si prenda quello della 

 f(oc r y s . 2 )<i la f(x, yi( x )) avrà una discontinuità di seconda specie (') se que- 

 sta esiste in quel punto per una delle due f (oo, y Sl ) f{x,y Sì ); e se non 

 esiste, potrà nel punto di distacco aversi per la f(x, yi( x )) una disconti- 

 nuità di prima specie, se una simile discontinuità esiste ivi per una, o 

 per ambedue, le f(x, y Sl ), f{x,y s .^ e anche se per queste si avesse la 

 continuità. 



« Premesso ciò, si prenda piccolo a piacere il solito numero positivo 

 a e un numero s, e, tolti dei tratti in numero finito Ti , x%...i v di somma 

 minore di s, suppongasi verificata questa condizione: che, nella striscia di 

 piano compresa tra le due rette y=y s e y=yo, y s essendo un valore scelto 



a piacere tra quelli del gruppo 2/i , 2/2 , 2/3 , esista una linea y = y l{x) 



composta di un numero finito di tratti giacenti, ben inteso, su rette del 

 gruppo, in ogni punto (x, yi( x) ) della quale, eccettuati al più i punti ap- 

 partenenti ai tratti ti , Ta, .... T p , si abbia: 



ffa yo)—f{x, yi( X )) | < -j- ' 



« Ora è, in ogni punto x tra a e b : 



tip, yo) = tipe, yux))-hf{oc, y 0 )~f(x, y l[x) ) ; 



i punti (x, yi( x) ) nei quali la f(x, y t ( X )) fa un salto maggiore di — formano 



un gruppo discreto. Siano i punti di questo gruppo rinchiusi entro gli in- 

 tervallini ti, t% , ... t q di somma piccola a piacere ; in un punto x preso 

 fuori dei tratti n, t$ , ... t p a cagione della diseguaglianza precedente, la 



f{x.yo) — f{oG,yi( X )) non può avere che un salto minore di — ; i punti x 



u 



nei quali la f{x,y§) può avere un salto maggiore di a sono dunque sola- 

 mente quelli che cadono nei tratticelli t x , £2,...%, n, Ta, ... t,, , e ciò prova 

 la integrabilità della f{x,y$). 



« Si può dunque enunciare: affinchè la 



f(%,yo)= lim f{oc,y s ) 



funzione finita e determinata, sia tra a e b atta all'inte- 

 grazione, nel l' ipotesi che, per ogni valore y s appartenente 

 a un gruppo di numeri t/i , 3/2,^3, — aventi per numero li- 

 mite y 0 , sia integrabile da a a Ha f(x,y s ), è necessario e 

 sufficiente che, preso piccolo a piacere un numero positivo a 

 e un numero s, dentro la striscia compresa tra la retta y=yo 

 e la y~y s , y s scelto ad arbitrio tra i numeri y , e tolti tra 

 a e b dei tratticelli Ti,, ta, ... t p in numero finito e di somma 



(') Dini, 1. e paj. 39. 



