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minore di e, sempre si possa, mediante un numero finito di 

 tratti giacenti su rette del gruppo y = y s ^ u y s -^,..., formare 

 una linea y = yn x) in ogni punto della quale, eccettuati al 

 più i punti compresi nei tratti t si abbia: 

 I f{x,yo) — {oc,y l(x) ) [<<;. 



« Questa condizione consiste, in sostanza, in una certa maniera di con- 

 vergenza della /' (x, y) verso la f (.r, y 0 ) al convergere di y a y 0 . Si potrà 

 chiamarla convergenza uniforme a tratti in generale; mentre si potrà chia- 

 mare convergenza uniforme a traili quella che si ha, come condizione per la 

 continuità della f{-r,y 0 ), quando la f{x, y s ) sia continua ('); e che differisce 

 da questa che abbiamo qui per la integrabilità, solamente in ciò : che nelle 

 linee spezzate che occorre di considerare, la diseguaglianza precedente si 

 verifica per tutto senza eccezione di alcuno intervallino. 



3. « Le considerazioni esposte sin qui sono in particolare applicabili 



00 



alla serie 2u n (x); u n (x) essendo una funzione della x tra a e b. 



TT • °° 



«Una serie 2u ll {x) convergente in ogni punto x tra a e b, si dirà 

 i 



che converge in egual grado per tratti in generale se, assegnati a piacere 

 dei numeri positivi a e e comunque piccoli, e tolti tra a e b i tratticeli 

 ti , Ta , • • . t p in numero finito e di somma minore di e, per ogni numero 

 intero wij si trova poi un intero m 2 >mì tale che per tutti i valori x tra 

 a e b, eccettuati al più quelli contenuti nei tratti ti t 2 ... r p , si abbia 

 per un numero ???, che può variare con x, ma rimane sempre compreso tra 

 vii e ?% , 



| E m (a) | «7, 

 R M (x) essendo il resto della serie. 



« Suppongasi u n (x) , oltrecchè finita, integrabile tra a e b : per ogni 

 u finito. Sarà finita e integrabile la somma 



S« (x) = u\ + % (oc)-h — + u n (x) 



e si potrà asserire che: affinchè la serie S (x) — 2 u a (x) di infi- 



i 



nite funzioni integrabili tra a e b, essendo in ogni punto 

 x determinata e minore sempre di un numero L finito, sia 

 tra a e b integrabile, è necessario e sufficiente che essa 

 ivi converga in egual grado per tratti in generale ». 



(') Vedi mia Nota: Intorno alla continuila della somma di infinite funzioni continue. 

 Rendiconti — Accademia delle scienze. Bologna 1884. 



