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« Con questi valori l'equazione (1) liberata da fratti diviene: 



(2) yxv'*-ytV* = Q. 

 « Scrivendo per maggior simmetria 



(3) v'I = a* «i , v x * = — a x * a % 



dove i simboli (ombre) a, a hanno valore nelle combinazioni a^ajockii, j, 

 k = l, 2), la (2) diviene 



(4) a v a x * = P y b x % = y „ c * = 5 s dj = 0 : 

 cli'è l'espressione simbolica della corrispondenza (1, 2). 



2. « Di alcuni invarianti e covarianti della forma (4) si occupò da 

 tempo, e col calcolo non simbolico, il prof. Battagiini ('). Ma, poiché il 

 mio fine non è di studiar qui il soggetto (cosa che ho fatto in una Memoria 

 che spero di pubblicare tra breve), dirò qui intorno ad esso le poche cose 

 che seguono. 



« a) La condizione che due elementi x coincidano è data dall' annul- 

 larsi del discriminante della (4) considerata come forma quadratica in x. 

 Questo discriminante è 



(5) 0 — 0/ = 07 = (#f (2U' dell'autore) ( 2 ) 



e fornisce, eguagliato a zero, due elementi y ai quali corrispondono elementi x 

 coincidenti. Tali elementi y si dicono di diramazione. 



« b) Per trovare poi l'equazione che fornisce gli elementi x coinci- 

 denti (elementi doppi), bisogna eliminare y tra le 4) e 5). Il risultante si 

 trova subito scrivendo 0x0^ = 0 in luogo di 0/ = O, e poi ponendo 



Xi=fe c 2 , X 2 = — yiCa 2 

 p.t = da 4 2 , pi = — 5i d x * . 



« Così viene l'equazione biquadratica : 



(6) 0 == P = P/ = (0 7 ) (09) e, 2 d w * = {aby («y) (/S&) e? 4 2 . 



« Ma si prova facilmente che P è il quadrato di una forma binaria quadra- 

 tica, che indicherò confì — Q,,, 2 (2 0 dell'autore). Invero a cagione dell'identità 



(I) (abfc*-- (ac)«é.» + (bcfo^-2 {ac) {bc) a x b x , 



si può scrivere 



P = (« y ) (/38) d* j(ac) 2 b* + {bey a* - 2 {ac) (bc) a x b z J . 



« La prima parte, che si separa nelle due forme distinte («7) (ac) 2 , 

 (/3§) bjdj', è identicamente nulla; poiché le due forme, permutando i sim- 

 boli ac, «7 ; bd, p§ tra loro, mutano il segno. La seconda parte mutando a in c 

 ed a in 7 diviene = — P; così che 



Y =- (ac)(a 1 ) (bc) (^)a x b x d x \ 



(') Rendiconto dell'Accademia di Napoli, dicembre 1864 « Sullo forme binarie miste 

 di 3° e 4° grado. 



(") Sia avvertito, una volta per tutte, che alcuni coefficienti numerici sono introdotti 



dal calcolo simbolico stesso. Così, per es., della forma u x i~u' x ' 1 il discriminante è (uu') z = 



2 (i/ 0 w 4 — mentre l'autore scriverebbe u 0 v 2 — w,% etc. 



