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« Cangiando i simboli bd, /3ò\ prendendo la semisomma delle espressioni 

 risultanti ed osservando che poi 



(II) (bc)d x — (dc)b x = (bd)c x , 

 si ha 



P = — Y (ac) (ay) a x c x . (bd) §§9) b x d x . 



« Qui le due forme separate dal punto sono evidentemente identiche ; 

 perciò posto 



(7) a=Q* = Q'J = (ac) («v) a x c x , 

 si ha definitivamente 



P ==— ■ ~2~ O'c • Q-x , 



mentre poi l'equazione che fornisce gli elementi doppi è Lì x 2 =0. 



« D'altra parte variando y, le coppie di elementi x formano un' involu- 

 zione quadratica, i cui elementi doppi sono forniti dall'eq. O x 2 = 0, che 

 deve coincidere col jacobiano delle due coppie (3), cioè v x % = 0, xì x = 0. 

 Tale jacobiano è infatti: 



(vv') v x v' x = — (ab) a x b x u<ipi = ^- (ab) a x b x («i jS 2 — a% /3i) = y 12 x 2 - 



c) L'invariante della forma 0,/ è 



(QQ'* = {ab)*(«9')(P&). 

 « Facendo uso della polare 



®'y e', = y w 79 ^ + \ {od)% ^ = W ' 



si trova subito 



(eeO*=(a&)*(cd;«(«y) ((S5). 

 « Parimenti si trova 



(QQ') a = («e) («7) (aO r ) (cQ') = (ac) («7) (bd) (03) (a&) (ed) . 

 « Di qui per le identità 



(III) (ab) (ac) (db) (de) = -i (aò) 2 (def + i (ac) 2 (dò) 2 — -1 M 2 (^) 2 



J <i J 



(ao)«(«7) = 0, (M) 2 (/3S) = 0, 



viene 



(Oli') 2 =+ i-(«7) (/?&) (aò) 2 ( C ^-1(«7) 038) (ad) 2 &c) 2 , 



ovvero, mutando nella seconda parte b e /3 in d e 8, 

 UÌQ') 2 = (abf (cdf («v) (/33) . 

 « Onde l'importante relazione (specialmente dal punto di vista geometrico) 



(8) (ÙQ1Y = (00') 2 (2Q dell'autore). 



3. « La forma biquadratica che nasce da U y 2 sostituendovi i valori 

 di xjx ed \ji tratti dall'eq. 4), è conformemente a quello che fù detto nel n. 2, b) 

 a proposito della forma P, 



(9) F = F.* = BV = .. = (U«) (U/3) a, 2 &, 2 . 



