— 330 — 



« Dovendo nel calcolo degl'invarianti e dei covarianti di P adoperare le 

 polari di forme biquadratiche che sono prodotti (effettivi o simbolici) di forme 

 quadratiche, vai meglio trovar tali polari una volta per tutte. 



« Posto 



si ha la prima polare 



<?x <?y =4- m ^ ^ny-h — nj 2 m x m„ 



« La seconda polare è 



112 



-q m x l n v* + -q m y t n x + -3- m x m y n x n y , 



cui, per l'identità 



(IV) 2m x m y n x n y = m x % n y 2 -hm^n} — {mnf (xy) % 



si può dar la forma 



« Se m ed n sono simboli equivalenti si ha 

 (pjtp y --in/ n x n y 



9J 1 = m x l n y ^ — y (mn) 2 (xxjY. 



« Se 9 = P, bisogna porre simbolicamente 



donde si vede che m ed n sono equivalenti. 

 « Perciò, essendo altresì per (5) 



(10) (U«)(U/3)(a&) 2 = (IT0) 2 (=2K autore) 

 si ottengono subito le polari prima e seconda di P: 



(11) ~ ¥ x *F y ={XJ«){TJ(ì)a 3ì H x b y 



(12) F, 2 F* = (U«) (U/3) a, 2 6," - y (U0) 2 (##. 



4. « Ora siamo in grado di calcolare tutte le forme pertinenti al sistema 

 completo di P, cioè 



i = (FF') 4 , H = H/ = (FF')Hyn 2 , j = (FH)*, T^T/^FH^H, 3 . 

 a) Forma i ( = 2 1 autore) 

 « In prima si ha 



i = (FF')* = (U«) (U/3) (aF')' (6F') 2 . 

 « Kicavando poi il valore del simbolo («F') 2 (òF') 2 dalla seconda polare 

 (scritta coi simboli e/, dà, U' e 0') col porvi a?i=tì 2 , — — °>\ ? Vi = hi 

 j/2 = — , si ha 



« = (U«) (U/3) (U' 7) (IT 3) (ac) 2 (W) 2 - y (U«) (U/S) (a&)« (U'9') s - 



1 1 



« La seconda parte è eguale (eq. e 9) a — -J- (U0) 2 (U' 0') 2 =— -q-(U 0) 2 . 



