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Ed infatti posto x = 2DD"-4D' 2 , X = 4D' si ha 



xF + W = D (D' Q 2 -f- 2D"F) . 



«Del resto poi la risoluzione delle equazioni F = 0, H = 0, T = 0; 



0, Hj, — 0, T ? = 0 si può rendere più spedita senza far uso delle cu- 

 biche risolventi. 



« Infatti, ricordando che £2 2 — — 2 (Qy.) (0/5) ajbj, e trascurando i fat- 

 tori costanti, le equazioni suddette assumono le forme rispettive 



PE(U«)(%V=0, H=— ÌD(O«)(0ri)^ 2 ^ 2 +|D'(U a )(U i S)a^6/= : O, 



TeQ, 5 (Va) {Y^a^bJmO; 

 *=(V«)(V/3KV=0, K? = Q?=-2(9z) (0$ a/ bj = 0 , 



T*=Q*j-D\e«) (0,3K V+D"(Ua) (TJ/3) a a *& s « J -0 . 



« Dalla forma che hanno queste espressioni si scorge subito che im- 

 maginando risolute le equazioni in y 



TV = 0, -yD0 9 2 + ÌD'U/ = O, ?/ = 0, 0/ = O, 



'/ 



si avranno le radici a? delle F, H, H» = 0 , sostituendo i valori trovati 

 di y nell'equazione della corrispondenza a,,^ 2 — 0. 



«In quanto ai covarianti T e T* essi hanno le due radici — 0 

 comuni; le altre si ottengono rispettivamente risolvendo le equazioni si- 

 multanee 



a, a* = Ò,. Y,« = 0 ; a, a, 2 = 0 , — D' 0/ + D" U/ — 0 . 

 7. « Finalmente si trova pel discriminante della biquadratica F : 



R = i 3 — 6j 2 =: J-D 2 D" 2 (D' 2 -DD"). 

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« Coi simboli dell' autore si ha 



F — 27J 2 = D 2 D 2 (K' 2 -DD) 

 e non, com' egli scrisse , 



I» — 27J 2 == i- D □ (— 32K 4 + 38K 2 D □ — 9D 2 □ 2 ) 



partendo dalla erronea espressione dell'invariante J. 



« Possiamo dilucidare il valore di R anche con le seguenti considera- 

 zioni sulle radici doppie di F. 



a) « Se U«, 2 =0 ha radici doppie (è un quadrato perfetto), cioè se D=0, 

 anche F x 4 =0 le avrà: anzi F sarà eguale al quadrato di una forma qua- 

 dratica. Perciò R, com'è infatti, dev'esser nullo: H diviene eguale a un 



multiplo di F ^=-^-D'F^, T = 0, ed i = jD'\ 7 = |-D' 3 ('). 



b) « Se ciò che avviene contemporaneamente equazione (8), 0/ = O 



(') Clebsch, Vorlesungen ete. giunge per via diversa a questi stessi valori di E. 

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