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ed Q x 2 = 0 hanno radici doppie (onde D"— 0), le due forme u^a^ 

 che costituiscono Q x 2 ammettono un fattore comune, che si riproduce nella 

 P elevato a quadrato. Perciò, E dev' esser nullo ; e lo è infatti, perchè 

 ammette D" per fattore. 



c) « Non sono questi i soli casi nei quali P può avere il discriminante 

 nullo : ve n' è un altro, quello cioè in cui U e 0 avessero un fattore co- 

 mune. In tal caso P avrebbe per fattore doppio uno dei fattori di £ì. 



« Infatti posto 



si ha da principio 



P x 4 = (pa) (^) a * h % = {px) a ^ (^) h % ì . 



- \ DJ = (0«) (0/3) a* b* = (pa) a x \ (if) b* . 

 « Chiamando con u = u x ., v~- v x i fattori di Q, — e determinando 



convenientemente le costanti, potremo supporre }- Q} = ti? v- . Dunque 



si ha l'identità 



v*=(poc)a x \ (r/3)&, 2 . 

 « Qui il primo membro è un quadrato perfetto, perciò tale deve essere 

 anche il secondo membro: onde, essendo p ed r diversi tra loro (se no si 

 rientra nel caso b), ciascuno dei suoi fattori sarà un quadrato perfetto ; 

 dovremo anzi porre 



pu*=(p«)a* t ro»=(rjS)&,« {oa = l). 

 « Cosicché P— pH 2 (qfi) bj 2, contiene in effetti il fattore u di 0 come fat- 

 tore doppio. 



« Ma se TI e 0 hanno una radice comune, il loro risultante D' 2 — DD" 

 deve annullarsi. Tale risultante dunque deve essere un fattore di E, come 

 fu infatti trovato. 



«Essendo E — D 2 D" 2 (D' 2 — DD"), il segno di E dipende dal segno 

 di D' 2 — DD" ( = — ~ (VV) 2 ^ e non dai segni espliciti di D e D". Per- 

 ciò intorno alla realtà delle radici di P possiamo dire, giovandoci di teo- 

 remi noti nella teoria delle forme biquadratiche : 



I) « Se E<0, e però anche D' 2 — DD"< 0 e la forma V=(U0)U a ,9 s 

 ha radici immaginarie, la P ha due radici reali e due immaginarie. 



II) « Se E > 0, e perciò anche D' 2 — DD"> 0 e la forma V ha radici 

 reali, la P ha o quattro radici reali o quattro radici immaginarie secondo 



i 



che H ed H 2 g"-^ 2 ' P er arbitrari e reali valori di oc hanno segni diversi 



o eguali » ('). 



(') Clebsch, Theorie der binàren Furmen § 47. 



