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Matematica. — Di alcune proprietà delle equazioni lineari 

 omogenee alle differenze finite del 2° ordine. Nota del prof. D. Besso, 

 presentata dal Socio Blaserna. 



« Fra le proprietà delle equazioni lineari alle differenze, analoghe a 

 note proprietà delle equazioni lineari alle derivate, sono qui esposte alcune, 

 dell' equazione del second' ordine, le quali si riferiscono al prodotto di più 

 soluzioni, ed alla somma di potenze simili, ad esponente costante, intero e 

 positivo, di più soluzioni. 



1. « Sieno y\y%...y m m soluzioni dell' equazione alle differenze finite: 

 6*y — p.dy-qij = 0 (1) 

 nella quale p Q q sono date funzioni di x e By=.y x ^ x (')• 



« Dalla : 



y\y%-y m =z (2) 



e dalla (1) si ricava: 



fyi Oy* ... 0y m =- 0z, 

 (p • + qyi) (p • %ì4- qyì) .... {p- g/y«.) = o % z, 



ed è chiaro che da questa, ripetendo più volte 1' operazione indicata col 

 simbolo 0, si otterranno equazioni della forma: 



(Ph-Siji ~h q h y\) {ph ■ Oy*~h : q%!ft) •••• (ph • %H-g0«) = Qk ^ z ( 3 ) 



in cui le f h , q h sono determinate dalle : 



Po = P Ph = P- Oph-i + 



(4) 



Qo = q qh = q ■ e Ph-\ ) 



« Ora, indicata con T„ la somma dei prodotti ad n ad n degli m 

 quozienti : 



Qy± Qjn Qym 

 yi ' 2/2 ' "'* y m ) 



la (3) si trasforma nella: 



n=m — 1 



z 2 q h m -> l Pll n T n = d h ^z-p h m .Oz — q h '»z (3') 



n=l 



la quale, postovi /t=0, 1, 2, ... m — 2, somministra un sistema di ni — 1 equa- 

 zioni lineari rispetto alle Tj, T» 2 , .... T,„_i , il quale permette di determinare 

 queste quantità, mediante p,q,z e loro 6, quando le p,p\ , ih ■•■p m -z e la 

 q sieno tutte diverse da zero. 



« Infatti il determinante dei coefficienti è eguale al prodotto : 



pp\pt ... Pm-i • qqi q* - q^-% 



moltiplicato pel prodotto delle — — — — differenze che sono comprese 



(') È la notazione adottata dal Casorati nella sua importantissima Memoria : II cal- 

 colo delle differenze finite int-rpretalo e accresciuto di nuovi teoremi ecc. (Annali di Mate- 

 matica, voi. X). 



