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nella formola: 



■ la quale, in forza delle (4), supponendo /c>/i, si può scrivere: 

 (-1)" q . 6q .... (Jfc-i q . 0" (pq,_ h -p k _ h q) 



od anche : 



. Bq d h -hq . d"q . q lt _ h _ x . 



« Perciò, e per le (4), è chiaro che questo determinante si annulla 

 soltanto quando una delle p sia zero, oppure sia q=0 . 



2. « Se al precedente sistema si aggiunge l' equazione che si ricava 

 dalla (3') per h = rn — 1, si ha un sistema di m equazioni il quale per- 

 mette di eliminare le T; e, nell'ipotesi che nessuna delle p sia zero, uè 

 sia q— 0, il risultato di tale eliminazione sarà un' equazione lineare omo- 

 genea alle differenze finite dell'ordine m+1, soddisfatta dai prodotti di in 

 soluzioni della (1). 



3. « Sieno altrettante soluzioni distinte della (1) e sia m 



una costante intera e positiva non minore di 2n— 1 . Posto : 



W >« = U, ^ = IU = z--=S 0 (5), 2Ur=S, (6), 

 si troverà : 



S m = dz (7) 

 2U {p h t-hq h y n = 6"^z , 



ossia : 



r=m— 1 / <m\ 



2 ( r K' i"~ r - s '- = 6 ' 1 ^ z — p"- ez - z ' 



la quale, per h=0, 1, 2, ... m — 2, porge un sistema di m — 1 equazioni lineari 

 che vale a determinare le Sj,S 2 , ... S m _i , in funzione di p, q, z e loro 0, 

 quando le p, p\ , ... p,„_2 e la q sieno tutte diverse de zero. 



«Perciò, e in forza delle (5) (7), e per essere m>2n — 1, quando 

 sia conosciuta la z saranno noti i secondi membri delle 2n equazioni che 

 si ricavano dalla (6) per r=0, 1, 2, ... 2n — 1, dalle quali equazioni, eli- 

 minando le Ui, TJ 2 ,...U ra , e indicando con: 



(-l) A M ft 



la somma dei prodotti ad h ad h delle h , t%, ... t n , si ottengono le n equa- 

 zioni comprese nella: 



M» S ft 4- M„_i S k ù + .... + Mi S /£ ^_ t + S^n = 0 

 per /c = 0, 1, 2, ... n — 1 . 



« In questo sistema d' equazioni il determinante dei coefficienti è eguale 

 al prodotto di UiU 2 ... U ft pel quadrato del determinante: 



1 



1 



. . 1 



h 



h . . 



• ■ • K 



fi 2 



tt* . . 







h n ~ l • ■ 



. . . t,r 



,-1 



