« Il lavoro del prof. Veronese intitolato : La Geometria ad n dimen- 

 sioni in sè, e quale metodo di ricerca e di dimostrazione , è distribuito 

 in tre parti ; la prima, che è la parte fondamentale, ha per titolo: Le rela- 

 zioni proiettive degli spazi di differenti dimensioni , mediante il prin- 

 cipio di proiezione e sezione; questa parte dèi lavoro è nel suo insieme 

 la traduzione della Memoria pubblicata dallo stesso autore, e con lo stesso 

 titolo, nel voi. XIX dei Malli. Annalen (1882), con l'aggiunta delle dimo- 

 strazioni dei teoremi più notevoli , dei quali si trova il solo enunciato 

 nell' originale tedesco, e con maggiore sviluppo delle teorie più importanti, 

 come la teoria delle curve, e quella delle superficie rappresentabili in un 

 piano. La seconda parte del lavoro del Veronese ha per titolo: La Geometria 

 descrittiva a quattro dimensioni. Finalmente la terza parte, pubblicata in 

 francese, è una Memoria avente per titolo : Interprétations géométriques de 

 la théorie des substitutions de n lettres particulièrement, pour n = 3, 4, 5,6, 

 en relation avec les groupes de VHexagramme mystique, fu già inviata al 

 concorso aperto dall'Accademia reale del Belgio, negli anni 1879 e 1881, 

 intórno alla generalizzazione delle proprietà dell' esagrammo mistico: questa 

 Memoria è quindi estranea al presente concorso; l'autore l'ha però inviata, 

 poiché trovandosi in essa una speciale e molto importante applicazione di 

 qualche teoria svolta nella suddetta prima parte del suo lavoro, essa gioverà 

 per mostrare la fecondità del suo metodo di ricerca nelle questioni geometriche. 



«Il concetto degli spazi a più dimensioni non è nuovo; il Grassmann 

 nelle sue due opere sfili' Ausdehnungslehr e (1844, 1862) diede la genera- 

 zione delle varietà a n dimensioni (Mannigfaltigkeiten n er Stufe) mediante 

 il movimento di un elemento. Il Cauchy si occupò degli spazi a più dimen- 

 sioni, che disse « luoghi analitici ». Il Cayley pubblicò una Nota sulla Geo- 

 metria analitica ad n dimensioni nel voi. IV del giornale di Cambridge e 

 Dublino, e fece molto uso di tali concetti nella sua importante Memoria, 

 Intorno alle curve assoggettate a date condizioni, inserita nelle Tran- 

 sazioni filosofiche della Società reale di Londra. Il Eiemann però è quegli 

 che ha principalmente richiamato l'attenzione dei matematici sugli spazi a 

 più dimensioni nella sua profonda Memoria : Ueber die Hypothesen die der 

 Geometrie zu Grunde liegen , che ha poi dato origine a molti importanti 

 lavori di illustri scienziati. Posteriormente si sono occupati di questi spazi 

 a più dimensioni, sotto diversi punti di vista, Clifford, Jordan, Darboux, 

 Helmoltz, Klein, Lie, Nòther, Bàcklund, Lipschitz, Beltrami, Betti, d'Ovi- 

 dio, ed altri più recentemente ancora, come Segre, Iung, Aschieri, F. Meyer, 

 Schubert. 



« I lavori sulla Geometria ad n dimensioni, anteriori a quelli del Ve- 

 ronese, si riferiscono in gran parte alla teoria della curvatura degli spazi, e 

 sono esposti con metodo del tutto analitico ; fa eccezione la breve Memoria 

 del prof. Stringham, inserita nelV American Journal of Mathematics, intitolata: 



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