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Matematica. — Intorno alla generazione dei gruppi di opera- 

 sioni. Nota IL del dott. GL Frattini, presentata dal Socio G. Battaglini. 



« Nella mia Nota, Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni, 

 la quale ebbe l'onore di apparire nei Kendiconti di questa insigne Accade- 

 mia, ebbi occasione di segnalare alcune proprietà del gruppo $ di quelle 

 sostituzioni le quali non sono efficaci alla generazione di un gruppo G, av- 

 vertendo in primo luogo che il gruppo 4> è necessariamente eccezionale in G. 

 Ora, a guisa di complemento, credo opportuno di aggiungere qualche altra 

 osservazione che mi sembra degna di menzione. Primieramente: Il gruppo $ 

 relativo a qualsivoglia sottogruppo eccezionale di G, è ec- 

 cezionale in Gr e fa parte del gruppo $ relativo al gruppo 

 totale. Si indichi infatti con il gruppo $ relativo al gruppo T ecce- 

 zionale in Gr. Trasformando <J>' con qualsivoglia sostituzione S di G, si otterrà 

 necessariamente un gruppo <&" contenuto in T. Ora, quando si combini $" 

 con un sottogruppo L di r, non potrà certo dalla combinazione nascere l'in- 

 tero T, perchè se fosse : r=($", L), sarebbe altresì : SrS" 1 = (S^'S -1 , SLS~ l ) 

 ovvero : r = , L') essendo 11 sotto gruppo di V, e potrebbe perciò, 

 contro l'ipotesi, concorrere alla generazione di r. Il gruppo fa adunque 

 parte di per la qual cosa si esige che coincida con <&'. Il gruppo 0' è 

 adunque eccezionale in G. 



« Dimostriamo ora che O' fa parte di 0. E per ciò immaginiamo di- 

 stribuite le sostituzioni di T nei periodi 71 , y 2 1 7» relativi al sotto- 

 gruppo $' eccezionale in r, e le sostituzioni di G nei periodi 71 , ... */„ ; 

 7'i , — y'n ; .— 7<' m- V, ... yj m ~ 1 ^ relativi all'istesso che, come dimostrammo, 

 è eccezionale in G. Il gruppo G non potrà contenere sottogruppi che con le 

 loro sostituzioni partecipino a tutti i periodi di questa seconda distribuzione. 

 Perchè, se il contrario accadesse ed esistesse per ciò in G qualche sotto- 

 gruppo A con sostituzioni in tutti quei periodi, il gruppo comune a T e a A 

 avrebbe sostituzioni in tutti i periodi 71,72» •■• 7i e perciò il sottogruppo <!>' 

 combinato con il gruppo comune a T e a A genererebbe r la qual cosa è 

 contraria alla natura di Poiché adunque, distribuite le sostituzioni di G 

 nei periodi relativi al sottogruppo eccezionale non esistono sottogruppi 

 di G con sostituzioni in tutti i periodi, il gruppo <£' farà parte del gruppo $ 

 relativo al totale gruppo G. 



« A ciò si potrebbe del resto arrivare rammentando che (v. la Nota pre- 

 cedente), il sottogruppo $ relativo ad un gruppo G si può anche definire 

 come quello che è composto delle sostituzioni di G le quali sono moduli 

 rispetto a tutti i possibili modi di generazione di G. Basterà premettere che 

 il gruppo dei moduli relativo a un particolare modo di generazione di un 

 gruppo G coincide con il gruppo dei moduli relativi a tutti i possibili modi 



