di generazione dell'istesso G. Questa premessa mi sembra notevole per sè 

 stessa e perciò la dimostro confermando in seguito la precedente conclusione. 



« Se i due sistemi (gì , g% , ... g^) , (g\ , g\ , ... g\) formati con sostituzioni 

 di G sono anche sistemi generatori di G e il primo sistema si converte in 

 nn nuovo sistema generatore quando le sue sostituzioni si riducano egua- 

 gliando all'unità fattori eguali a sostituzioni di un certo gruppo p conte- 

 nuto in G, lo stesso avverrà necessariamente del secondo sistema. 



« Perchè, se rappresenteremo con G\ , G' 2 , .. G' v le g\ , g r < i , ... </ v decom- 

 poste comunque in fattori alcuni dei quali appartengano a 9 e con g'\ , g'\ , ... 

 g" v ciò che le G'i , G'2 , ... G'v divengono soppressi in esse i fattori di p , 

 siccome con le G' si possono per ipotesi comporre le g e sopprimere in 

 seguito nelle g composte i fattori di p senza che il sistema delle g cessi di 

 rappresentare un sistema di generatrici di G, è evidente che, ai prodotti 

 formati con fattori G' sostituendo prodotti formati nel medesimo modo con 

 i corrispondenti fattori g" , si otterrà un sistema generatore di G e che, un 

 sistema siffatto si otterrà altresì sostituendo a questi ultimi prodotti i fat- 

 tori g" medesimi. Il sistema {g'\ ,</' 2 , ... g" v ) è adunque un sistema di ge- 

 neratrici di G. Il gruppo totale dei moduli relativi al sistema (g x , g 2 , .. gp) 

 fa dunque parte di $. La reciproca è evidente. Adunque i due gruppi 

 coincidono. 



« Ed ora, tornando al gruppo T e al corrispondente gruppo è evi- 

 dente che, se V non può concorrere alla generazione di G , farà parte 

 di $ perchè T è in Se poi G— (r,L) essendo L un sottogruppo di G, 

 si potrà in T operare, per ipotesi, mod. $'. Ma decomponendo le sostitu- 

 zioni l di L in fattori alcuni dei quali siano in <!>', ponendo cioè : Ix = e 1 

 hi p\ h% sarà possibile la riduzione: Iv. — p^hih^ ... essendo p'p una sosti- 

 tuzione di $', per essere $' eccezionale in G. D'altronde la p'p si potrà sop- 

 primere perchè generata dalle sostituzioni di V considerate 0 no mod. 

 Adunque sopra il sistema (r , L) generatore di G si potrà operare mod. <D', 

 e per conseguenza farà parte di 3>. Ricordando poi che il gruppo $ rela- 

 tivo a un gruppo G coincide ancora con il gruppo che è comune a tutti i 

 sottogruppi massimi di G, potremo enunciare il teorema: Il gruppo che 

 è comune a tutti i gruppi massimi contenuti in un sotto 

 gruppo eccezionale di un gruppo dato, è eccezionale in 

 questo, e fa parte del gruppo comune ai sottogruppi mas- 

 simi del dato gruppo. 



« E più generalmente: Ogni sottogruppo eccezionale di un 

 gruppo dato, se comune a tutti i gruppi massimi di qual- 

 che sottogruppo, è anche comune a tutti i sottogruppi mas- 

 simi del dato gruppo ». 



