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Matematica. — Sopra una proprietà della ridotta dell'equa- 

 zione modulare di ottavo grado. Nota del Socio F. Brioschi. 



l.° « La riduzione della equazione modulare dell'ottavo grado al settimo 

 è dovuta al sig. Hermite. Il risultato della medesima trovasi in una let- 

 tera direttami nel dicembre 1858 e pubblicata negli Annali di Matematica 

 (Tomo 2°). Precedentemente però, cioè nella seduta del 22 aprile 1858 

 dell'Accademia delle scienze di Berlino il sig. Kronecker presentava una 

 Nota, Ueber Gleichungen des siebenten Grades, nella quale annunciava sic- 

 come proprietà di quella ridotta del settimo grado che ciascuna radice di 

 essa è una funzione razionale di altre tre. Il sig. Noether nella sua Me- 

 moria, Ueber die Gleichungen achten Grades und ihr Auftreten in der Theo- 

 rie der Curven vierter Ordnung (Matb. e Annalen. Bd. XV) ha dimostrato 

 che queste ultime tre radici devono soddisfare ad una speciale condizione. 



« Il sig. Klein nei suoi lavori sulle equazioni modulari Jacobiane ha 

 dato le espressioni delle radici della ridotta del settimo grado in funzione 

 di tre quantità che indicheremo con c\, c 2 , c 3 . Posto 2<d4-1 =[/ — 7 e 



2i'7T 



p = e 7 , quelle espressioni sono : 



X„ = U 8 ~hCùV s 



essendo : „ » . l8 » . 0l s 



v s — p 6s c 2 c 3 4- p Zs c-i ci 4- o 5s c i c-i 



ed 5 = 0, 1, 2 .... 6. 



« Indicando con f la forma ternaria biquadratica : 



f= cic 3 4-e|ci4-c? Ci 

 e con », jS, y, 5 le espressioni : 



a = c,c 2 C3, fiF=clcl-r~clc\-+-c\cl 



7 = Ci c\ 4- c 3 c\ 4- Ci c\ , d = Ci4-C2-r c 3 ? 



inoltre : 



h — 5x 2 — /3 



fe= 8* — 10of/"d — 232 a/3 7 + 40 /'/5 2 — 1192 4-465 «V 2 

 le /i, /e sono covarianti del sesto e del quattordicesimo ordine della forma f; 

 e la equazione del settimo grado di cui le radici sono le oc 0 , X\....x^ è la 

 seguente ('): 



x 1 — 7cùfxS-h7uhx l —7{2u-^ò)f ì x*-\-U{2a-h-S)fhx*-h 

 4-7 [(3w — 2)p— (v-hS)h?]x — (7w — 38) f*h — k = 0. 



(') Vedi Klein, Ueber die Auflósung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten 

 Grada; e la mia Nota, Ueber die Jacobi'sche Modular •gleichung vom achten Grad. Math. e An- 

 nalen Bd. XV; Gordan, Ueber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Sub- 

 slitulionen. Math. e Annalen. Bd. XX. 



