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«La coudizione necessaria e sufficiente affinchè, nelle 

 ipotesi poste nella nota succitata, sussista 1 a (1), e che lira I f(x,y s )dx 



sia, in ogni punto x tra a e b, una funzione di x finita 

 e continua. 



« Che questa condizione sia necessaria, è evidente perchè, nell' ipotesi 



che f (%, yo) sia integrabile, J" f(x,y 0 )dx e una funzione di x finita e con- 

 fi 



tinua; mostriamo che è sufficiente. 

 « Poniamo 



jf{oB,yo)dx = Q(oc) : J f (x , y t ) dx — $ (x , y s ) 



a a 



f(x,y s )dx=$(x,y 0 ) . 



« Se si ricorda che è 



ove f(x,yo) indica un valore compreso tra il limite superiore e inferiore 

 di f(x,yo) neir intervallo da x a x-hh, si vede che, fissato uu punto x 

 qualunque, i valori che assume il rapporto incrementale di 0 (x) per i valori 

 di h minori in valore assoluto di un numero h\ minore della più piccola 

 delle due quantità b — x, x — a (escluso il valore h = 0), saranno compresi 

 tra i due numeri limiti, tra i quali sono compresi i valori di f(x,yo) nell'inter- 

 vallo da x — h\ a x-hh\. Epperò l'oscillazione (') che in un punto x al 

 tendere di h a zero, fa il rapporto incrementale di 9(x) sarà minore o al 

 più eguale a quella che in quel punto x fa la f(x,yo) , 



« Si consideri ora la funzione <ì> (x , y) . 



« Si ha 



$(aH-ft,yp) — $(a?,j/o) __ $ (x+h , y 0 )— $ [x , y 0 ) $ (art-h , ijj}— $ (x , yj) ' 

 h h h 



, Q(x-hh,yi) — Q (g} t yi) 



(') Per oscillazione di una funzione ^ (x) in un punto x, intendiamo la differenza 

 G x — Qx, Gx e g x essendo i limiti ai quali tendono rispettivamente G(a?,A t ), g(x,h 1 ) limite 

 superiore quello, inferiore questo della \>{x) nell'intervallo da x — fe a a , al tendere 



di h l a zero. (Harnach, Math. Annalen B. XVII: XIX). — Tra l'oscillazione qui definita 

 e il salto (Dini, Fondamenti etc. pag. 42) vi è la relazione che l'oscillazione è minore o 

 eguale al doppio del salto. 



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