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dove yi rappresenta l' ordinata di una linea composta di un numero finito 



di tratti presi sulle rette y = y x , y^, y z , tra il punto x e il 



punto x-{-h . 



« Si può anche scrivere 



,o\ *(aH-Ayo)—*0».yo) __${x+h, y 0 )—${oc-+-h, y t ) ®{as,y*)—<b{x,yi) , 

 (2 ) Ti r 



tyart-hMÙ—Qjocyt) _ H^h,y () )--%nc-+-h ì y l )—\^{x ì y <) ) ^{x,y l )\ 



H UT ~ h 



x-t-h 



dx 



f ■x-t-h 

 f(x,yi)dx è l'integrale della f(x,yi) preso lungo la linea spezzata 



X 



che si considera tra x e x-+-h. 



« Per ogni valore x e per ogni h fisso, esiste un valore y s , tale che per 

 ogni valore y preso tra i valori y H , y Sì ^ , y Sl ^ , è 



(3) 



Q{x-+-h,y 9 )—$(cc-\-h,y) 



<\h\o e 



<\h\<J 



a essendo un numero positivo preso piccolo a piacere. In virtù di quanto 

 si è stabilito nella nota SulV integrabilità ec. ec. sopra menzionata, tolti 



tra oc e x-\-h dei travicelli n ,.T2, t p in numero finito e la cui somma e 



può esser presa piccola a piacere, si può poi sempre, mediante tratti deter- 

 minati presi su rette appartenenti alle y=y Sl , y Sl ^-i, y H +-<i, formare 



una linea spezzata che, ad eccezione dei tratti t, percorra tutto l'intervallo 

 da x a x-\-h, e in ogni punto (x,y) della quale sia 

 (4) f{oc,yt)—f{x,y) = ka x 



k essendo un numero compreso tra — 1 e +1, e uj un numero positivo 

 piccolo a piacere. 



«Nell'eguaglianza (2) la y x indichi l'ordinata della linea spezzata che 

 si compone della linea dianzi detta, sulla quale si verifica la (4) e dei tratti t 



presi sulla retta y = y tl . Si osservi che indicando §i § 2 , 3, un sistema 



qualunque di parti in cui si è decomposto l'intervallo da x a x-~h h , si ha, 

 come è noto 



i 



X 



' x-t-h i 



f(x , y t ) dx = di f u -h 3 4 h,i + + ò\ f ul + 2 K, 2 5, D M 



x-i-h ,• 



f{x , y 0 ) <te=d| A,o /a,o -h 4- ft.o + 2 K 2 2 d, D,, 0 



ì 



X 



ove /^j è un valore compreso tra il limite superiore e il limite inferiore di 



